Упр.1270 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Даны два равных и а) параллельных; б) не параллельных отрезка. Постройте центр $$O$$ поворота, при котором один отрезок отображается на другой.
- Диагонали $$AC$$ и $$BD$$ четырёхугольника $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$. Площадь треугольника $$ODC$$ есть среднее пропорциональное между площадями треугольников $$OBC$$ и $$OAD$$. Докажите, что $$ABCD$$ — трапеция с основаниями $$AD$$ и $$BC$$ или параллелограмм.
Решение
Обозначим $$OA=a,\; OB=b,\; OC=c,\; OD=d,$$ а угол $$\angle COD=\alpha.$$
Тогда площади треугольников выразим через две стороны и синус угла между ними:
$$S_{ODC}=\frac12\cdot OC\cdot OD\cdot \sin\alpha=\frac{cd}{2}\sin\alpha,$$
$$S_{OBC}=\frac12\cdot OB\cdot OC\cdot \sin(180^\circ-\alpha)=\frac{bc}{2}\sin\alpha,$$
$$S_{OAD}=\frac12\cdot OA\cdot OD\cdot \sin\alpha=\frac{ad}{2}\sin\alpha.$$
По условию $$S_{ODC}=\sqrt{S_{OBC}\cdot S_{OAD}}.$$ Тогда
$$\left(\frac{cd}{2}\sin\alpha\right)^2=\frac{bc}{2}\sin\alpha\cdot \frac{ad}{2}\sin\alpha,$$
$$c^2d^2=bc\cdot ad,$$
$$cd=ab.$$
Отсюда
$$\frac{OC}{OA}=\frac{OB}{OD}=k,$$
то есть точки $$C$$ и $$A$$, а также $$B$$ и $$D$$ делят диагонали в одинаковом отношении. Кроме того, углы $$\angle BOC$$ и $$\angle DOA$$ — вертикальные, значит,
$$\angle BOC=\angle DOA.$$
Следовательно, треугольники $$BOC$$ и $$DOA$$ подобны по двум сторонам и углу между ними. Тогда
$$\angle CBO=\angle ADO.$$
Так как точки $$B, O, D$$ лежат на одной прямой, то из равенства этих углов получаем
$$BC \parallel AD.$$
Теперь рассмотрим возможные случаи:
- если $$k<1,$$ то $$BC<AD,$$ и четырёхугольник $$ABCD$$ — трапеция с основаниями $$AD$$ и $$BC$$;
- если $$k=1,$$ то $$\triangle BOC \cong \triangle DOA,$$ значит, $$ABCD$$ — параллелограмм;
- если $$k>1,$$ то $$BC>AD,$$ и снова получаем трапецию с основаниями $$BC$$ и $$AD$$.
Итак, $$ABCD$$ — трапеция с основаниями $$AD$$ и $$BC$$ или параллелограмм.
