Упр.1270 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

а) 1) Соединим отрезками точки A и A_1,точки B и B_1;
2) Отметим точку O на пересечении этих отрезков;
3) Точка O является искомым центром поворота;
б) 1) Соединим отрезками точки A и A_1,а также B и B_1;
2) Построим к AA_1 и BB_1 серединные перпендикуляры;
3) Отметим точку O на пересечении перпендикуляров;
4) Точка O является искомым центром поворота. Диагонали АС и BD четырёхугольника ABCD пересекаются в точке О. Площадь треугольника ODC есть среднее пропорциональное между площадями треугольников ОВС и OAD. Докажите, что ABCD — трапеция с основаниями AD и ВС или параллелограмм.

Обозначим $$OA=a,$$ $$OB=b,$$ $$OC=c,$$ $$OD=d,$$ а угол $$\angle COD=\alpha.$$

Тогда площади треугольников $$OCD$$ и $$OBC$$ равны:

$$S_{OCD}=\frac12\cdot OC\cdot OD\cdot \sin\alpha=\frac{cd}{2}\sin\alpha,$$

$$S_{OBC}=\frac12\cdot OB\cdot OC\cdot \sin(180^\circ-\alpha)=\frac{bc}{2}\sin\alpha.$$

По условию $$S_{OCD}=\sqrt{S_{OBC}\cdot S_{OAD}},$$ значит

$$S_{OCD}^2=S_{OBC}\cdot S_{OAD}.$$

Подставим формулы площадей:

$$\left(\frac{cd}{2}\sin\alpha\right)^2=\frac{bc}{2}\sin\alpha\cdot \frac{ad}{2}\sin\alpha.$$

После сокращения получаем:

$$c^2d^2=bc\cdot ad,$$

откуда

$$cd=ad,$$

то есть

$$\frac{c}{a}=\frac{b}{d}=k.$$

Следовательно,

$$\frac{OC}{OA}=\frac{OB}{OD}=k,$$

а углы $$\angle BOC$$ и $$\angle DOA$$ — вертикальные, значит, треугольники $$BOC$$ и $$DOA$$ подобны по двум сторонам и углу между ними.

Из подобия получаем:

$$\angle CBO=\angle ADO.$$

Так как точки $$B, O, D$$ лежат на одной прямой, то это равенство означает, что $$BC \parallel AD.$$

Теперь рассмотрим возможные случаи.

• Если $$k<1,$$ то $$BC<AD,$$ и четырёхугольник $$ABCD$$ — трапеция с основаниями $$AD$$ и $$BC.$$
• Если $$k=1,$$ то $$\triangle BOC \cong \triangle DOA,$$ откуда $$ABCD$$ — параллелограмм.
• Если $$k>1,$$ то $$BC>AD,$$ и снова получаем трапецию с основаниями $$AD$$ и $$BC.$$

Итак, $$ABCD$$ — трапеция с основаниями $$AD$$ и $$BC$$ или параллелограмм.