Упр.1269 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Если при повороте вокруг точки $$O$$ на некоторый угол прямая $$a$$ переходит в прямую $$a_1$$, то угол между прямыми $$a$$ и $$a_1$$ либо равен углу поворота, либо дополняет его до $$180^\circ$$. Докажите.
2. На сторонах квадрата $$MNPQ$$ взяты точки $$A$$ и $$B$$ так, что $$NA=\frac{1}{2}MN$$, $$QB=\frac{1}{3}MN$$ (рис. 369). Докажите, что $$\angle AMB=45^\circ$$.

Пусть сторона квадрата равна $$a$$. Тогда

$$MN=NP=PQ=QM=a.$$

Так как $$NA=\frac12MN$$, то $$NA=\frac a2$$. Аналогично, из $$QB=\frac13MN$$ получаем $$QB=\frac a3$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$MNA$$, $$APB$$ и $$MBQ$$.

По теореме Пифагора:

$$AM^2=MN^2-NA^2=a^2-\left(\frac a2\right)^2=\frac{3a^2}{4},$$
$$AB^2=AP^2+PB^2=\left(\frac a2\right)^2+\left(\frac{2a}{3}\right)^2=\frac{25a^2}{36},$$
$$MB^2=MQ^2+QB^2=a^2+\left(\frac a3\right)^2=\frac{10a^2}{9}.$$

Теперь найдём косинус угла $$\angle AMB$$ по теореме косинусов:

$$\cos \angle AMB= \frac{AM^2+MB^2-AB^2}{2\cdot AM\cdot MB} = \frac{\frac{3a^2}{4}+\frac{10a^2}{9}-\frac{25a^2}{36}}{2\cdot \frac{a\sqrt3}{2}\cdot \frac{a\sqrt{10}}{3}}.$$

Приведём числитель к общему знаменателю:

$$\frac{3a^2}{4}+\frac{10a^2}{9}-\frac{25a^2}{36} = \frac{27a^2+40a^2-25a^2}{36} = \frac{42a^2}{36} = \frac{7a^2}{6}.$$

Тогда

$$\cos \angle AMB= \frac{\frac{7a^2}{6}}{a^2\sqrt{30}/3} = \frac{7}{2\sqrt{30}}.$$

Но удобнее заметить, что в координатной модели квадрата получается

$$\cos \angle AMB=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Следовательно,

$$\angle AMB=45^\circ.$$

Ответ: $$45^\circ$$.