Упр.1267 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Постройте окружность, которая получается из данной окружности с центром $$C$$ поворотом вокруг точки $$O$$ на угол $$60^\circ$$ против часовой стрелки, если: а) точки $$O$$ и $$C$$ не совпадают; б) точки $$O$$ и $$C$$ совпадают.
- Точка $$O$$ не лежит на данной окружности. Для каждой точки $$M_1$$ окружности на луче $$OM_1$$ взята такая точка $$M$$, что $$OM=k\cdot OM_1$$, где $$k$$ — данное положительное число. Найдите множество всех точек $$M$$.
Пусть дана окружность с центром $$C$$ и радиусом $$r$$, а точка $$O$$ не лежит на этой окружности. Рассмотрим произвольную точку $$M_1$$ данной окружности и точку $$M$$ на луче $$OM_1$$, для которой
$$OM=k\cdot OM_1,$$
где $$k>0$$ — данное число.
Обозначим координаты так, чтобы $$O(0,0)$$, а центр окружности $$C(0,c)$$. Тогда для точки $$M_1(x_1,y_1)$$ имеем
$$x_1^2+(y_1-c)^2=r^2.$$
Так как $$M$$ лежит на луче $$OM_1$$ и $$OM=k\cdot OM_1$$, то координаты точки $$M$$ равны
$$x=kx_1,\qquad y=ky_1.$$
Подставим $$x_1=\dfrac{x}{k}$$, $$y_1=\dfrac{y}{k}$$ в уравнение окружности:
$$\left(\frac{x}{k}\right)^2+\left(\frac{y}{k}-c\right)^2=r^2.$$
Умножим на $$k^2$$:
$$x^2+(y-kc)^2=(kr)^2.$$
Это уравнение окружности с центром $$O’ (0,kc)$$ и радиусом $$kr$$.
Значит, множество всех точек $$M$$ — это окружность, полученная из данной гомотетией с центром в точке $$O$$ и коэффициентом $$k$$: центр переходит в точку, лежащую на луче $$OC$$, на расстоянии $$k\cdot OC$$ от $$O$$, а радиус увеличивается в $$k$$ раз.
Ответ: окружность с центром на луче $$OC$$, удалённым от $$O$$ в $$k$$ раз дальше, чем $$C$$, и радиусом $$kr$$.
