Упр.1265 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Точка $$D$$ является точкой пересечения биссектрис равностороннего треугольника $$ABC$$. Докажите, что при повороте вокруг точки $$D$$ на угол $$120^\circ$$ треугольник $$ABC$$ отображается на себя.
- Даны три точки $$A$$, $$B$$, $$C$$ и три числа $$a$$, $$b$$, $$\gamma$$. Найдите множество всех точек $$M$$, для каждой из которых сумма $$aAM^2+bBM^2+\gamma CM^2$$ имеет постоянное значение, если:
а) $$a+b+\gamma=0$$;
б) $$a+b+\gamma=0$$.
Пусть $$AB=b,$$ а точку $$C$$ выберем за начало координат так, чтобы $$A(0,0),\;B(b,0),\;C(c,d).$$
Пусть $$M(x,y).$$ Тогда
$$AM^2=x^2+y^2,$$
$$BM^2=(x-b)^2+y^2,$$
$$CM^2=(x-c)^2+(y-d)^2.$$
Рассмотрим сумму:
$$\begin{aligned} aAM^2+bBM^2+\gamma CM^2 &=a(x^2+y^2)+b\bigl((x-b)^2+y^2\bigr)+\gamma\bigl((x-c)^2+(y-d)^2\bigr)\\ &=(a+b+\gamma)x^2-2(b b+\gamma c)x+(a+b+\gamma)y^2-2\gamma d\,y\\ &\quad +bb^2+\gamma c^2+\gamma d^2. \end{aligned}$$
а) $$a+b+\gamma\ne 0$$
Тогда, дополнив до квадратов, получаем
$$\left(x-\frac{bb+\gamma c}{a+b+\gamma}\right)^2+ \left(y-\frac{\gamma d}{a+b+\gamma}\right)^2=Z,$$
где $$Z$$ — постоянная величина.
Значит, множество точек $$M$$ задаётся уравнением окружности, точки или пустого множества — в зависимости от знака $$Z$$.
б) $$a+b+\gamma=0$$
Тогда квадратичные члены исчезают, и остаётся уравнение вида
$$-2(bb+\gamma c)x-2\gamma d\,y+bb^2+\gamma c^2+\gamma d^2=k.$$
Это уравнение прямой, если хотя бы один из коэффициентов при $$x$$ и $$y$$ не равен нулю. Если же они оба равны нулю, то получаем либо пустое множество, либо всю плоскость.
Ответ: а) окружность, точка или пустое множество; б) прямая, пустое множество или вся плоскость.
