Упр.1264 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Постройте треугольник, который получается из данного треугольника ABC поворотом вокруг точки А на угол 150° против часовой стрелки. Найдите точки пересечения двух окружностей, заданных уравнениями (х — 1)2 + (у — 2)2 = 4 и х2 + у2= 1, и вычислите длину их общей хорды.

Подробный ответ

Найдём точки пересечения окружностей

$$ \begin{cases} (x-1)^2+(y-2)^2=4,\\ x^2+y^2=1. \end{cases} $$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$ (x-1)^2+(y-2)^2-(x^2+y^2)=4-1. $$

Раскроем скобки:

$$ x^2-2x+1+y^2-4y+4-x^2-y^2=3, $$

$$ -2x-4y+5=3, $$

$$ x+2y=1. $$

Тогда

$$ y=\frac{1-x}{2}. $$

Подставим в уравнение $$x^2+y^2=1$$:

$$ x^2+\left(\frac{1-x}{2}\right)^2=1. $$

Умножим на $$4$$:

$$ 4x^2+(1-x)^2=4, $$

$$ 4x^2+1-2x+x^2=4, $$

$$ 5x^2-2x-3=0. $$

Разложим на множители:

$$ (5x+3)(x-1)=0. $$

Отсюда

$$ x_1=-\frac{3}{5}, \quad x_2=1. $$

Найдём соответствующие значения $$y$$:

$$ y_1=\frac{1-(-3/5)}{2}=\frac{4}{5}, \quad y_2=\frac{1-1}{2}=0. $$

Итак, точки пересечения окружностей:

$$ \left(-\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right), \quad (1,0). $$

Теперь найдём длину общей хорды — это расстояние между этими точками:

$$ AB=\sqrt{\left(1+\frac{3}{5}\right)^2+\left(0-\frac{4}{5}\right)^2} =\sqrt{\left(\frac{8}{5}\right)^2+\left(\frac{4}{5}\right)^2} $$

$$ =\sqrt{\frac{64}{25}+\frac{16}{25}} =\sqrt{\frac{80}{25}} =\frac{4\sqrt{5}}{5}. $$

Поворот треугольника $$ABC$$ вокруг точки $$A$$ на угол $$150^\circ$$ против часовой стрелки строится так: точки $$B$$ и $$C$$ переходят в точки $$B_1$$ и $$C_1$$, причём

$$ AB_1=AB,\quad AC_1=AC,\quad \angle BAB_1=150^\circ,\quad \angle CAC_1=150^\circ. $$

Соединяем точки $$A$$, $$B_1$$ и $$C_1$$ — получаем искомый треугольник.