Упр.1264 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Постройте треугольник, который получается из данного треугольника $$ABC$$ поворотом вокруг точки $$A$$ на угол $$150^\circ$$ против часовой стрелки.
- Найдите точки пересечения двух окружностей, заданных уравнениями $$(x-1)^2+(y-2)^2=4$$ и $$x^2+y^2=1$$, и вычислите длину их общей хорды.
Рассмотрим систему уравнений окружностей:
$$\begin{cases} (x-1)^2+(y-2)^2=4,\\ x^2+y^2=1. \end{cases}$$
Вычтем из первого уравнения второе:
$$(x-1)^2+(y-2)^2-(x^2+y^2)=4-1.$$
Раскроем скобки:
$$x^2-2x+1+y^2-4y+4-x^2-y^2=3,$$
$$-2x-4y+5=3,$$
$$x+2y=1.$$
Тогда
$$y=\frac{1-x}{2}.$$
Подставим это во второе уравнение:
$$x^2+\left(\frac{1-x}{2}\right)^2=1.$$
Умножим на $$4$$:
$$4x^2+(1-x)^2=4,$$
$$4x^2+1-2x+x^2=4,$$
$$5x^2-2x-3=0.$$
Решим квадратное уравнение:
$$D=(-2)^2-4\cdot 5\cdot(-3)=64,$$
$$x=\frac{2\pm 8}{10}.$$
Получаем:
$$x_1=1,\quad x_2=-\frac{3}{5}.$$
Найдём соответствующие значения $$y$$:
при $$x_1=1$$
$$y_1=\frac{1-1}{2}=0;$$
при $$x_2=-\frac{3}{5}$$
$$y_2=\frac{1+\frac{3}{5}}{2}=\frac{4}{5}.$$
Точки пересечения окружностей:
$$\left(1,0\right),\quad \left(-\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right).$$
Длина общей хорды равна расстоянию между этими точками:
$$AB=\sqrt{\left(1+\frac{3}{5}\right)^2+\left(0-\frac{4}{5}\right)^2} =\sqrt{\frac{64}{25}+\frac{16}{25}} =\sqrt{\frac{80}{25}} =\frac{4\sqrt{5}}{5}.$$
Ответ: $$\left(1,0\right),\ \left(-\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right),\ \frac{4\sqrt{5}}{5}.$$
