Упр.1262 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: 1262. Даны две пары параллельных прямых: a || a_1, b || b_1, причём a не параллельна b. Постройте вектор параллельного переноса, при котором прямые а и b отображаются на прямые a_1 и b_1 соответственно. В каждом из следующих случаев на оси абсцисс найдите точку М, для которой сумма её расстояний от точек А и В имеет наименьшее значение: а) А (2; 3), В (4;-5); б) А (-2; 4), В (3; 1).

Подробный ответ

При параллельном переносе прямая переходит в параллельную ей прямую, а вектор переноса соединяет любую точку исходной прямой с её образом.

Так как $$a \parallel a_1$$ и $$b \parallel b_1,$$ причём $$a \not\parallel b,$$ то вектор параллельного переноса можно взять как вектор, переводящий точку пересечения прямых $$a$$ и $$b$$ в точку пересечения прямых $$a_1$$ и $$b_1.$$ Следовательно, искомый вектор — это $$\overrightarrow{AB}.$$

Теперь найдём точку $$M(x;0)$$ на оси абсцисс, для которой сумма расстояний $$AM+BM$$ минимальна. Используем свойство отражения: если одну из точек отразить относительно оси $$Ox,$$ то кратчайший путь из $$A$$ в $$M$$ и далее в $$B$$ соответствует прямой, проходящей через отражённую точку и точку $$A$$.

а) $$A(2;3),\ B(4;-5).$$

Точки $$A$$ и $$B$$ лежат по разные стороны от оси $$Ox,$$ значит искомая точка $$M$$ лежит на отрезке $$AB.$$ Найдём уравнение прямой $$AB$$:

$$ \frac{x-2}{4-2}=\frac{y-3}{-5-3} $$
$$ \frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{-8} $$
$$ -4(x-2)=y-3 $$
$$ y=-4x+11. $$

Точка $$M$$ лежит на оси абсцисс, поэтому $$y=0$$:

$$ 0=-4x+11,\qquad 4x=11,\qquad x=\frac{11}{4}. $$

Значит, $$M\left(\frac{11}{4};0\right).$$

б) $$A(-2;4),\ B(3;1).$$

Точки $$A$$ и $$B$$ лежат по одну сторону от оси $$Ox.$$ Отразим точку $$B$$ относительно оси $$Ox$$: получим $$B'(3;-1).$$ Тогда искомая точка $$M$$ — это точка пересечения прямой $$AB’$$ с осью $$Ox.$$

Найдём уравнение прямой $$AB’$$:

$$ \frac{x-(-2)}{3-(-2)}=\frac{y-4}{-1-4} $$
$$ \frac{x+2}{5}=\frac{y-4}{-5} $$
$$ -(x+2)=y-4 $$
$$ y=-x+2. $$

Так как $$M$$ лежит на оси $$Ox,$$ то $$y=0$$:

$$ 0=-x+2,\qquad x=2. $$

Следовательно, $$M(2;0).$$