Упр.1262 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Задание учебника 2025 года. Даны две пары параллельных прямых: $$a \parallel a_1$$, $$b \parallel b_1$$, причём $$a$$ не параллельна $$b$$. Постройте вектор параллельного переноса, при котором прямые $$a$$ и $$b$$ отображаются на прямые $$a_1$$ и $$b_1$$ соответственно.
- Задание учебника 2023 года. В каждом из следующих случаев на оси абсцисс найдите точку $$M$$, для которой сумма её расстояний от точек $$A$$ и $$B$$ имеет наименьшее значение:
а) $$A(2; 3)$$, $$B(4; -5)$$;
б) $$A(-2; 4)$$, $$B(3; 1)$$.
Пусть точка $$M$$ — искомая точка на оси абсцисс. Тогда сумма $$AM+BM$$ будет наименьшей, если заменить точку $$B$$ её отражением относительно оси $$Ox$$ и провести прямую через $$A$$ и отражённую точку $$B’$$. Точка пересечения этой прямой с осью $$Ox$$ и будет искомой.
а)
$$A(2;3),\quad B(4;-5).$$
Точка $$B$$ и точка $$A$$ лежат по разные стороны от оси $$Ox$$, поэтому искомая точка $$M$$ лежит на отрезке $$AB$$.
Найдём уравнение прямой $$AB$$:
$$\frac{x-2}{4-2}=\frac{y-3}{-5-3}$$
$$\frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{-8}$$
$$-4(x-2)=y-3$$
$$y=-4x+11.$$
Так как $$M$$ лежит на оси абсцисс, то $$y=0$$. Подставим:
$$0=-4x+11,\qquad 4x=11,\qquad x=\frac{11}{4}.$$
Следовательно, $$M\left(\frac{11}{4};0\right).$$
б)
$$A(-2;4),\quad B(3;1).$$
Отразим точку $$B$$ относительно оси $$Ox$$. Получим $$B'(3;-1).$$ Тогда искомая точка $$M$$ лежит на прямой $$AB’$$.
Найдём уравнение прямой $$AB’$$:
$$\frac{x-(-2)}{3-(-2)}=\frac{y-4}{-1-4}$$
$$\frac{x+2}{5}=\frac{y-4}{-5}$$
$$-(x+2)=y-4$$
$$y=-x+2.$$
Так как $$M$$ лежит на оси абсцисс, то $$y=0$$. Тогда
$$0=-x+2,\qquad x=2.$$
Следовательно, $$M(2;0).$$
Ответ
а) $$M\left(\frac{11}{4};0\right);$$ б) $$M(2;0).$$
