Упр.1260 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Даны равнобедренный треугольник $$ABC$$ с основанием $$AC$$ и такая точка $$D$$ на прямой $$AC$$, что точка $$C$$ лежит на отрезке $$AD$$.
а) Постройте отрезок $$B_1D$$, который получается из отрезка $$BC$$ параллельным переносом на вектор $$\overrightarrow{CD}$$.
б) Докажите, что четырёхугольник $$ABB_1D$$ — равнобедренная трапеция.
В треугольнике $$ABC$$ $$AC=9\ \text{см}$$, $$BC=12\ \text{см}$$. Медианы $$AM$$ и $$BN$$ взаимно перпендикулярны. Найдите $$AB$$.
Пусть $$A(0;0),\ C(9;0).$$ Обозначим $$B(x;y),\ y>0.$$
Так как $$AM$$ и $$BN$$ — медианы, то
$$N\left(\frac{9}{2};0\right),\qquad M\left(\frac{x+9}{2};\frac{y}{2}\right).$$
Условие перпендикулярности медиан даёт:
$$\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BN}=0.$$
Тогда
$$\left(\frac{x+9}{2};\frac{y}{2}\right)\cdot \left(\frac{9}{2}-x;-y\right)=0,$$
откуда
$$\frac{(x+9)(9-2x)}{4}-\frac{y^2}{2}=0.$$
Удобнее записать это в виде
$$\left(\frac{x+9}{2}\right)\left(\frac{9}{2}-x\right)-\frac{y^2}{2}=0,$$
или после преобразований
$$\left(x+\frac{9}{4}\right)^2+y^2=\frac{729}{16}.$$
Кроме того, по условию $$BC=12,$$ значит
$$(x-9)^2+y^2=144.$$
Вычтем из второго уравнения первое:
$$(x-9)^2-\left(x+\frac{9}{4}\right)^2=144-\frac{729}{16}.$$
Раскроем скобки:
$$x^2-18x+81-\left(x^2+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}\right)=\frac{2304-729}{16},$$
$$-\frac{45}{2}x+\frac{1215}{16}=\frac{1575}{16},$$
$$-\frac{45}{2}x=\frac{360}{16}=45,$$
$$x=-1.$$
Тогда из уравнения $$(x-9)^2+y^2=144$$ получаем:
$$(-1-9)^2+y^2=144,$$
$$100+y^2=144,$$
$$y^2=44,\qquad y=2\sqrt{11}.$$
Следовательно, $$B(-1;2\sqrt{11}).$$
Теперь найдём $$AB$$:
$$AB=\sqrt{(-1-0)^2+(2\sqrt{11}-0)^2}=\sqrt{1+44}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}.$$
Ответ: $$3\sqrt{5}\text{ см}.$$
