Упр.1259 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Начертите треугольник ABC, вектор ММ1, который не параллелен ни одной из сторон треугольника, и вектор а, параллельный стороне АС. Постройте треугольник А1В1С1, который получается из треугольника ABC параллельным переносом: а) на вектор ММ1; б) на вектор а. Вершины треугольника ABC имеют координаты А (-3; 0), В (0; 4), С (3; 0). Биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке D. Найдите координаты точки D.

Обозначим координаты точки пересечения биссектрисы с стороной $$BC$$ через $$D(x;y)$$.

Так как $$AD$$ — биссектриса угла $$A$$, то по теореме о биссектрисе

$$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}.$$

Найдём длины сторон:

$$AB=\sqrt{(0+3)^2+(4-0)^2}=\sqrt{9+16}=5,$$

$$AC=\sqrt{(3+3)^2+(0-0)^2}=6.$$

Следовательно,

$$\frac{BD}{DC}=\frac{5}{6}.$$

Точка $$D$$ делит отрезок $$BC$$ в отношении $$5:6$$, считая от точки $$B$$ к точке $$C$$. По формуле деления отрезка в данном отношении:

$$x_D=\frac{6x_B+5x_C}{5+6}, \qquad y_D=\frac{6y_B+5y_C}{5+6}.$$

Подставим координаты $$B(0;4)$$ и $$C(3;0)$$:

$$x_D=\frac{6\cdot 0+5\cdot 3}{11}=\frac{15}{11},$$

$$y_D=\frac{6\cdot 4+5\cdot 0}{11}=\frac{24}{11}.$$

Значит,

$$D\left(\frac{15}{11};\frac{24}{11}\right).$$

Ответ

$$\left(\frac{15}{11};\frac{24}{11}\right)$$