Упр.1259 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Задание учебника 2025 года. Начертите треугольник $$ABC$$, вектор $$\overrightarrow{MM_1}$$, который не параллелен ни одной из сторон треугольника, и вектор $$\vec{a}$$, параллельный стороне $$AC$$. Постройте треугольник $$A_1B_1C_1$$, который получается из треугольника $$ABC$$ параллельным переносом: а) на вектор $$\overrightarrow{MM_1}$$; б) на вектор $$\vec{a}$$.
- Задание учебника 2023 года. Вершины треугольника $$ABC$$ имеют координаты $$A(-3; 0)$$, $$B(0; 4)$$, $$C(3; 0)$$. Биссектриса угла $$A$$ пересекает сторону $$BC$$ в точке $$D$$. Найдите координаты точки $$D$$.
Точка $$D$$ лежит на биссектрисе угла $$A$$, значит она равноудалена от сторон $$AB$$ и $$AC$$. Удобно найти её координаты как точку пересечения биссектрисы с прямой $$BC$$.
Найдём уравнение биссектрисы угла $$A$$. Для этого используем свойство биссектрисы: она делит угол между сторонами в отношении, при котором
$$\frac{\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AC}|\cdot |\overrightarrow{AD}|}=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AD}|}.$$
Векторы:
$$\overrightarrow{AC}=(3-(-3);\,0-0)=(6;0),$$
$$\overrightarrow{AB}=(0-(-3);\,4-0)=(3;4),$$
$$\overrightarrow{AD}=(x+3;\,y).$$
Тогда
$$|\overrightarrow{AC}|=6,\qquad |\overrightarrow{AB}|=5.$$
Пусть $$\angle BAD=\angle DAC=\alpha$$. Тогда
$$\cos\alpha=\frac{\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AC}|\cdot |\overrightarrow{AD}|}=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AD}|}.$$
Подставим:
$$\frac{6(x+3)}{6\sqrt{(x+3)^2+y^2}}=\frac{3(x+3)+4y}{5\sqrt{(x+3)^2+y^2}}.$$
После сокращения получаем
$$5(x+3)=3(x+3)+4y,$$
откуда
$$y=\frac{1}{2}(x+3).$$
Теперь найдём уравнение стороны $$BC$$. Так как $$B(0;4)$$ и $$C(3;0)$$, то
$$\frac{x-0}{3-0}=\frac{y-4}{0-4},$$
то есть
$$4x=-3(y-4),$$
$$y=-\frac{4}{3}x+4.$$
Точка $$D$$ лежит и на биссектрисе, и на стороне $$BC$$, значит её координаты удовлетворяют системе:
$$\begin{cases} y=\frac{1}{2}(x+3),\\ y=-\frac{4}{3}x+4. \end{cases}$$
Приравниваем правые части:
$$\frac{1}{2}(x+3)=-\frac{4}{3}x+4,$$
$$\left(\frac{1}{2}+\frac{4}{3}\right)x=4-\frac{3}{2},$$
$$\frac{11}{6}x=\frac{5}{2},$$
$$x=\frac{15}{11}.$$
Тогда
$$y=\frac{1}{2}\left(\frac{15}{11}+3\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{48}{11}=\frac{24}{11}.$$
Ответ: $$\left(\frac{15}{11};\frac{24}{11}\right).$$
