Упр.1258 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Начертите отрезок АВ и вектор ММ1. Постройте отрезок А1В1, который получается из отрезка АВ параллельным переносом на вектор ММ1. Из физики известно, что центр тяжести однородной треугольной пластинки находится в точке пересечения медиан. Найдите координаты центра тяжести такой пластинки, если координаты её вершин равны: (х1; у1), (х2, у2), (х3; у3).

Подробный ответ

Обозначим координаты вершин треугольника так: $$A(x_1;y_1),\ B(x_2;y_2),\ C(x_3;y_3).$$

Пусть $$AA_1$$ и $$BB_1$$ — медианы треугольника, а $$M$$ — точка их пересечения, то есть центр тяжести пластинки.

Найдём координаты середины стороны $$BC$$:

$$ A_1\left(\frac{x_2+x_3}{2};\frac{y_2+y_3}{2}\right). $$

Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении $$2:1$$, считая от вершины. Значит, точка $$M$$ делит отрезок $$AA_1$$ так, что

$$ M\left(\frac{x_1+2x_{A_1}}{3};\frac{y_1+2y_{A_1}}{3}\right). $$

Подставим координаты точки $$A_1$$:

$$ x=\frac{x_1+2\cdot \frac{x_2+x_3}{2}}{3} =\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, $$

$$ y=\frac{y_1+2\cdot \frac{y_2+y_3}{2}}{3} =\frac{y_1+y_2+y_3}{3}. $$

Следовательно, координаты центра тяжести треугольной пластинки равны:

$$ M\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3};\frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right). $$