Упр.1257 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

а) Если фигура P равна фигуре Q, то существует наложение, при котором фигура P отображается на фигуру Q, но существует наложение, обратное данному, при котором фигура Q отображается на
фигуру P, то есть фигура Q тоже равна фигуре P;
б) Если фигура P равна фигуре Q, а фигура Q равна фигуре R, то существует два наложения, при которых фигура P отображается на фигуру Q, а Q отображается на R, значит существует также и движение плоскости, при котором фигура P отображается на фигуру R, то есть фигура P является равной данной фигуре R;
Даны две точки А(х1;у1) и В (х2; у2). Докажите, что координаты (х; у) точки С, делящей отрезок АВ в отношении L (т. е. AC/CB = L), выражаются формулами х =x1+Lx2/1+L, y=y1+Ly2/1+L

Подробный ответ

а) Если фигура $$P$$ равна фигуре $$Q$$, то существует наложение, при котором фигура $$P$$ отображается на фигуру $$Q$$. Но любое наложение можно выполнить и в обратном направлении, значит существует наложение, при котором фигура $$Q$$ отображается на фигуру $$P$$. Следовательно, фигура $$Q$$ равна фигуре $$P$$.

б) Если фигура $$P$$ равна фигуре $$Q$$, а фигура $$Q$$ равна фигуре $$R$$, то существуют наложения, при которых фигура $$P$$ отображается на фигуру $$Q$$ и фигура $$Q$$ отображается на фигуру $$R$$. Тогда можно выполнить и их последовательное наложение, при котором фигура $$P$$ отображается на фигуру $$R$$. Значит, фигура $$P$$ равна фигуре $$R$$.

Пусть точки $$A(x_1;y_1)$$ и $$B(x_2;y_2)$$, а точка $$C(x;y)$$ делит отрезок $$AB$$ в отношении $$\lambda$$, то есть

$$\frac{AC}{CB}=\lambda.$$

Так как точки $$A, C, B$$ лежат на одной прямой, то вектор $$\overrightarrow{AC}$$ пропорционален вектору $$\overrightarrow{CB}$$:

$$\overrightarrow{AC}=\lambda \overrightarrow{CB}.$$

В координатах это означает:

$$ \begin{cases} x-x_1=\lambda(x_2-x),\\ y-y_1=\lambda(y_2-y). \end{cases} $$

Решим систему:

$$ x-x_1=\lambda x_2-\lambda x $$

$$ x+\lambda x=x_1+\lambda x_2 $$

$$ x(1+\lambda)=x_1+\lambda x_2 $$

$$ x=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda}. $$

Аналогично: