Упр.1257 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите следующие утверждения:
а) если фигура $$P$$ равна фигуре $$Q$$, то фигура $$Q$$ равна фигуре $$P$$;
б) если фигура $$P$$ равна фигуре $$Q$$, а фигура $$Q$$ равна фигуре $$R$$, то фигура $$P$$ равна фигуре $$R$$. - Даны две точки $$A(x_1;y_1)$$ и $$B(x_2;y_2)$$. Докажите, что координаты $$(x;y)$$ точки $$C$$, делящей отрезок $$AB$$ в отношении $$L$$ (то есть $$\frac{AC}{CB}=L$$), выражаются формулами:
$$x=\frac{x_1+Lx_2}{1+L},\qquad y=\frac{y_1+Ly_2}{1+L}$$.
Пусть $$\dfrac{AC}{CB}=\lambda.$$ Тогда точки $$A(x_1;y_1),\ B(x_2;y_2),\ C(x;y)$$ лежат на одной прямой, и векторы $$\overrightarrow{AC}$$ и $$\overrightarrow{CB}$$ сонаправлены. Поэтому их координаты пропорциональны:
$$\frac{x-x_1}{x_2-x}=\lambda,\qquad \frac{y-y_1}{y_2-y}=\lambda.$$
Отсюда получаем систему:
$$x-x_1=\lambda(x_2-x),$$
$$y-y_1=\lambda(y_2-y).$$
Решим её относительно $$x$$ и $$y$$:
$$x-x_1=\lambda x_2-\lambda x,$$
$$x+\lambda x=x_1+\lambda x_2,$$
$$x(1+\lambda)=x_1+\lambda x_2,$$
$$x=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda};$$
аналогично
$$y-y_1=\lambda y_2-\lambda y,$$
$$y+\lambda y=y_1+\lambda y_2,$$
$$y(1+\lambda)=y_1+\lambda y_2,$$
$$y=\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}.$$
Следовательно, координаты точки $$C$$ выражаются формулами
$$x=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda},\qquad y=\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}.$$
Ответ: $$x=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda},\ y=\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}.$$
