Упр.1256 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Фигура $$F_1$$ получена из фигуры $$F$$ осевой симметрией с осью $$l$$, а фигура $$F_2$$ — из фигуры $$F$$ центральной симметрией с центром в точке $$O$$. Равны ли фигуры $$F_1$$ и $$F_2$$? Ответ обоснуйте.
- Вершины четырёхугольника $$ABCD$$ имеют координаты $$A(x_1;y_1)$$, $$B(x_2;y_2)$$, $$C(x_3;y_3)$$ и $$D(x_4;y_4)$$. Докажите, что этот четырёхугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда $$x_1+x_3=x_2+x_4$$ и $$y_1+y_3=y_2+y_4$$.
Пусть диагонали четырёхугольника $$ABCD$$ пересекаются в точке $$M$$. Если $$ABCD$$ — параллелограмм, то его диагонали делятся точкой пересечения пополам, значит, $$M$$ — середина и диагонали $$AC$$, и диагонали $$BD$$.
Тогда координаты точки $$M$$ можно выразить двумя способами:
$$M\left(\frac{x_1+x_3}{2};\frac{y_1+y_3}{2}\right)$$
и
$$M\left(\frac{x_2+x_4}{2};\frac{y_2+y_4}{2}\right).$$
Так как это одна и та же точка, то соответствующие координаты равны:
$$\frac{x_1+x_3}{2}=\frac{x_2+x_4}{2},\qquad \frac{y_1+y_3}{2}=\frac{y_2+y_4}{2}.$$
Отсюда получаем:
$$x_1+x_3=x_2+x_4,\qquad y_1+y_3=y_2+y_4.$$
Обратно, если выполнены равенства
$$x_1+x_3=x_2+x_4,\qquad y_1+y_3=y_2+y_4,$$
то середины диагоналей $$AC$$ и $$BD$$ совпадают, то есть диагонали четырёхугольника делятся пополам. Следовательно, $$ABCD$$ — параллелограмм.
Итак, четырёхугольник $$ABCD$$ является параллелограммом тогда и только тогда, когда
$$x_1+x_3=x_2+x_4,\qquad y_1+y_3=y_2+y_4.$$
