Упр.1252 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Даны прямая а и четырёхугольник ABCD. Постройте фигуру F, на которую отображается данный четырёхугольник при осевой симметрии с осью а. Что представляет собой фигура F? Шар и цилиндр имеют равные объёмы, а диаметр шара равен диаметру цилиндра. Выразите высоту цилиндра через радиус шара.

Подробный ответ

При осевой симметрии относительно прямой $$a$$ каждая вершина четырёхугольника переходит в точку, лежащую по другую сторону от оси на таком же расстоянии от неё. Поэтому строим точки $$A’$$, $$B’$$, $$C’$$, $$D’$$ — образы точек $$A$$, $$B$$, $$C$$, $$D$$, а затем соединяем их в том же порядке.

Полученная фигура $$F$$ — это зеркальное отображение четырёхугольника $$ABCD$$, то есть четырёхугольник $$A’B’C’D’$$, равный исходному.

Пусть радиус шара равен $$r$$, а высота цилиндра — $$h$$. Тогда диаметр цилиндра равен диаметру шара, значит радиус основания цилиндра тоже равен $$r$$.

Объём шара:

$$V_{\text{ш}}=\frac{4}{3}\pi r^3$$

Объём цилиндра:

$$V_{\text{ц}}=\pi r^2h$$

По условию объёмы равны, значит

$$\frac{4}{3}\pi r^3=\pi r^2h$$

Сократим на $$\pi r^2$$:

$$h=\frac{4}{3}r$$