Упр.1249 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Задание учебника 2025 года. В треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ $$AB=A_1B_1$$, $$AC=A_1C_1$$, $$BC=B_1C_1$$. Докажите, что существует движение, при котором точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ отображаются в точки $$A_1$$, $$B_1$$ и $$C_1$$, и притом только одно.
Задание учебника 2023 года. Высота конуса равна $$12\ \text{см}$$, а его объём равен $$324\pi\ \text{см}^3$$. Найдите дугу развёртки боковой поверхности этого конуса.

Подробный ответ

Обозначим искомое движение через $$g.$$

Так как $$AB=A_1B_1,$$ $$BC=B_1C_1,$$ $$AC=A_1C_1,$$ то треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ равны по трём сторонам. Значит, существует наложение, при котором $$A\mapsto A_1,$$ $$B\mapsto B_1,$$ $$C\mapsto C_1.$$ Это наложение является движением, следовательно, искомое движение существует.

Докажем, что оно единственно.

Пусть существует ещё одно движение $$g_1,$$ переводящее точки $$A,B,C$$ в точки $$A_1,B_1,C_1.$$ Рассмотрим точку $$O$$ — центр окружности, описанной около треугольника $$ABC.$$ Тогда при движении сохраняются расстояния, поэтому образ точки $$O$$ есть центр окружности, описанной около треугольника $$A_1B_1C_1.$$ Но у треугольника может быть только одна описанная окружность, значит, образ центра определяется однозначно.

Следовательно, движение, переводящее $$A$$ в $$A_1,$$ $$B$$ в $$B_1,$$ $$C$$ в $$C_1,$$ единственно.