Упр.1249 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: В треугольниках ABC и А1В1С1 АВ = А1В1, АС = А1С1, ВС = В1С1. Докажите, что существует движение, при котором точки А, В и С отображаются в точки А1, В1 и С1, и притом только одно. Высота конуса равна 12 см, а его объём равен 324л см3. Найдите дугу развёртки боковой поверхности этого конуса.

Подробный ответ

1) Докажем существование движения. Так как $$AB=A_1B_1,$$ $$BC=B_1C_1,$$ $$AC=A_1C_1,$$ то треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ равны по трём сторонам. Следовательно, существует наложение, при котором $$A \to A_1,$$ $$B \to B_1,$$ $$C \to C_1.$$ Такое наложение является движением.

2) Докажем единственность. Пусть существует два движения, переводящие $$A,B,C$$ в $$A_1,B_1,C_1.$$ Тогда они переводят центр описанной окружности треугольника $$ABC$$ в центр описанной окружности треугольника $$A_1B_1C_1.$$ Но у треугольника существует единственная описанная окружность, значит, и такое движение может быть только одно.

Итак, существует единственное движение, отображающее точки $$A,B,C$$ в точки $$A_1,B_1,C_1.$$

3) Найдём угол развёртки боковой поверхности конуса. Объём конуса:

$$V=\frac{1}{3}\pi r^2h.$$

Подставим $$V=324\pi\ \text{см}^3$$ и $$h=12\ \text{см}:$$

$$324\pi=\frac{1}{3}\pi r^2\cdot 12,$$

$$324=4r^2,$$

$$r^2=81,\quad r=9\ \text{см}.$$

Найдём образующую конуса:

$$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15\ \text{см}.$$

Развёртка боковой поверхности — сектор радиуса $$l$$, длина его дуги равна длине окружности основания:

$$\frac{\beta}{360^\circ}\cdot 2\pi l=2\pi r.$$

Отсюда