Упр.1248 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ — произвольные треугольники. Докажите, что существует не более одного движения, при котором точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ отображаются в точки $$A_1$$, $$B_1$$, $$C_1$$.
2. Высота конуса равна $$5\ \text{см}$$. На расстоянии $$2\ \text{см}$$ от вершины его пересекает плоскость, параллельная основанию. Найдите объём этого конуса, если объём отсекаемого от него конуса равен $$24\ \text{см}^3$$.

Проведём осевое сечение конуса. Пусть плоскость, параллельная основанию, пересекает образующие в точках $$C$$ и $$D$$. Тогда треугольники $$\triangle PAB$$ и $$\triangle PCD$$ подобны, так как

• $$AB \parallel CD$$;
• $$\angle P$$ — общий.

Следовательно, коэффициент подобия равен

$$k=\frac{PO}{PK}=\frac{5}{2}.$$

Объёмы подобных конусов относятся как куб коэффициента подобия:

$$\frac{V}{24}=k^3=\left(\frac{5}{2}\right)^3.$$

Тогда

$$V=24\cdot \left(\frac{5}{2}\right)^3=24\cdot \frac{125}{8}=375.$$

Ответ: $$375\ \text{см}^3$$.