Упр.1247 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Докажите, что отображение плоскости, при котором каждая точка отображается на себя, является наложением. Из квадрата, диагональ которого равна d, свёрнута боковая поверхность цилиндра. Найдите площадь основания цилиндра.

Пусть сторона квадрата равна $$a$$. Тогда по условию его диагональ равна $$d$$, значит

$$d=a\sqrt{2}, \qquad a=\frac{d}{\sqrt{2}}.$$

При свёртывании квадрата в боковую поверхность цилиндра одна сторона квадрата становится длиной окружности основания цилиндра:

$$2\pi r=a.$$

Тогда

$$2\pi r=\frac{d}{\sqrt{2}}, \qquad r=\frac{d}{2\sqrt{2}\pi}.$$

Теперь найдём площадь основания цилиндра:

$$S_{\text{осн}}=\pi r^2=\pi\left(\frac{d}{2\sqrt{2}\pi}\right)^2=\pi\cdot\frac{d^2}{8\pi^2}=\frac{d^2}{8\pi}.$$

Ответ

$$S_{\text{осн}}=\frac{d^2}{8\pi}.$$