Упр.1245 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Докажите, что при движении: а) параллелограмм отображается на параллелограмм; б) трапеция отображается на трапецию; в) ромб отображается на ромб; г) прямоугольник отображается на прямоугольник, а квадрат — на квадрат. Свинцовая труба (плотность свинца равна 11,4 г/см3) с толщиной стенок 4 мм имеет внутренний диаметр 13 мм. Какова масса трубы, если её длина равна 25 м?

Подробный ответ

а) Пусть $$ABCD$$ — параллелограмм, а точки $$A_1, B_1, C_1, D_1$$ — образы точек $$A, B, C, D$$ при движении.

Так как в параллелограмме $$AB=CD$$ и $$BC=AD$$, а движение сохраняет расстояния, то

$$A_1B_1=AB=CD=C_1D_1,$$

$$B_1C_1=BC=AD=A_1D_1.$$

Следовательно, в четырёхугольнике $$A_1B_1C_1D_1$$ обе пары противоположных сторон равны, значит, это параллелограмм.

б) Пусть $$ABCD$$ — трапеция, $$AD \parallel BC$$. На стороне $$AD$$ отметим точку $$K$$ так, что $$AK=BC$$. Тогда $$AK \parallel BC$$ и $$AK=BC$$, значит, четырёхугольник $$ABCK$$ — параллелограмм.

Отсюда

$$AB=CK,\qquad BC=AK.$$

При движении получаем

$$A_1B_1=AB=CK=C_1K_1,$$

$$B_1C_1=BC=AK=A_1K_1.$$

Значит, четырёхугольник $$A_1B_1C_1K_1$$ — параллелограмм, поэтому $$A_1K_1 \parallel B_1C_1$$. Так как $$K_1 \in A_1D_1$$, то точки $$A_1, K_1, D_1$$ лежат на одной прямой, следовательно, $$A_1D_1 \parallel B_1C_1$$. Значит, $$A_1B_1C_1D_1$$ — трапеция.

в) Пусть $$ABCD$$ — ромб. Тогда

$$AB=BC=CD=DA.$$

Движение сохраняет расстояния, значит,

$$A_1B_1=B_1C_1=C_1D_1=A_1D_1.$$

Следовательно, $$A_1B_1C_1D_1$$ — ромб.

г) Пусть $$ABCD$$ — прямоугольник. Тогда

$$AB=CD,\qquad BC=AD,\qquad \angle A=\angle B=\angle C=\angle D=90^\circ.$$

При движении сохраняются длины и углы, поэтому

$$A_1B_1=C_1D_1,\qquad B_1C_1=A_1D_1,$$

а также все углы равны $$90^\circ$$. Значит, $$A_1B_1C_1D_1$$ — прямоугольник.

Если же $$ABCD$$ — квадрат, то у него все стороны равны и все углы прямые. После движения эти свойства сохраняются, значит, $$A_1B_1C_1D_1$$ — квадрат.

Масса трубы. Внутренний радиус трубы

$$r=\frac{13}{2}=6{,}5\text{ мм},$$

наружный радиус

$$R=6{,}5+4=10{,}5\text{ мм}.$$

Переведём в метры:

$$r=6{,}5\cdot 10^{-3}\text{ м},\qquad R=10{,}5\cdot 10^{-3}\text{ м},\qquad l=25\text{ м}.$$

Объём свинца в трубе:

$$V=\pi l\left(R^2-r^2\right).$$

Тогда масса

$$m=\rho V=11{,}4\cdot 10^3\cdot 25\cdot \pi\left((10{,}5\cdot 10^{-3})^2-(6{,}5\cdot 10^{-3})^2\right).$$

Так как

$$R^2-r^2=(R-r)(R+r)=4\cdot 17\cdot 10^{-6},$$