Упр.1245 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Задание учебника 2025 года. Докажите, что при движении: а) параллелограмм отображается на параллелограмм; б) трапеция отображается на трапецию; в) ромб отображается на ромб; г) прямоугольник отображается на прямоугольник, а квадрат — на квадрат.
- Задание учебника 2023 года. Свинцовая труба (плотность свинца равна $$11{,}4\ \text{г/см}^3$$) с толщиной стенок $$4\ \text{мм}$$ имеет внутренний диаметр $$13\ \text{мм}$$. Какова масса трубы, если её длина равна $$25\ \text{м}$$?
При движении сохраняются расстояния между точками и величины углов. Поэтому если у фигуры были определённые равенства сторон и углов, то у её образа они сохраняются.
а)
Пусть $$ABCD$$ — параллелограмм, а точки $$A_1, B_1, C_1, D_1$$ — образы точек $$A, B, C, D$$ при движении.
В параллелограмме $$ABCD$$ имеем $$AB=CD$$ и $$BC=AD$$. Так как движение сохраняет расстояния, то
$$A_1B_1=AB=CD=C_1D_1,$$
$$B_1C_1=BC=AD=A_1D_1.$$
Следовательно, в четырёхугольнике $$A_1B_1C_1D_1$$ противоположные стороны попарно равны, значит, это параллелограмм.
б)
Пусть $$ABCD$$ — трапеция, причём $$AD \parallel BC$$. При движении прямые переходят в прямые, а параллельность сохраняется. Значит, образами прямых $$AD$$ и $$BC$$ будут параллельные прямые $$A_1D_1$$ и $$B_1C_1$$.
Следовательно, $$A_1B_1C_1D_1$$ — трапеция.
в)
Пусть $$ABCD$$ — ромб. Тогда
$$AB=BC=CD=DA.$$
При движении сохраняются длины отрезков, значит,
$$A_1B_1=B_1C_1=C_1D_1=D_1A_1.$$
Следовательно, $$A_1B_1C_1D_1$$ — ромб.
г)
Пусть $$ABCD$$ — прямоугольник. Тогда
$$AB=CD,\quad BC=AD,\quad \angle A=\angle B=\angle C=\angle D=90^\circ.$$
При движении сохраняются и длины, и углы, поэтому
$$A_1B_1=C_1D_1,\quad B_1C_1=A_1D_1,$$
а также все углы равны $$90^\circ$$. Значит, $$A_1B_1C_1D_1$$ — прямоугольник.
Если же $$ABCD$$ — квадрат, то дополнительно $$AB=BC=CD=DA$$. После движения получаем
$$A_1B_1=B_1C_1=C_1D_1=D_1A_1,$$
и все углы по-прежнему прямые. Следовательно, $$A_1B_1C_1D_1$$ — квадрат.
