Упр.1241 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что при центральной симметрии плоскости: а) прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую; б) прямая, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.
2. Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 5 м и 4 м и меньшей диагональю 3 м. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 2 м. Найдите площадь поверхности пирамиды, то есть сумму площадей всех её граней.

Пусть основанием пирамиды служит параллелограмм $$ABCD$$, а точка $$H$$ — точка пересечения его диагоналей. Тогда $$PH$$ — высота пирамиды, $$PH=2$$ м.

Найдём площадь основания. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, значит

$$AH=HC,\qquad BH=HD.$$

Так как меньшая диагональ равна $$3$$ м, то одна из диагоналей основания равна $$3$$ м, следовательно её половина равна $$\frac{3}{2}$$ м. В прямоугольном треугольнике с катетами $$\frac{3}{2}$$ и $$2$$ получаем боковое ребро:

$$DP=\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2+2^2}=\sqrt{\frac{9}{4}+4}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}\text{ м}.$$

Теперь найдём второе боковое ребро. В прямоугольном треугольнике, образованном стороной основания $$4$$ м и высотой $$2$$ м, имеем

$$AP=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\text{ м}.$$

Площадь боковой грани $$\triangle APD$$:

$$S_{APD}=\frac12\cdot AD\cdot DP=\frac12\cdot 4\cdot \frac52=5\text{ м}^2.$$

Так как противоположные боковые грани равны попарно, то

$$S_{\text{бок}}=2S_{APD}+2S_{APB}.$$

Найдём площадь $$\triangle APB$$ по формуле

$$S_{APB}=\frac12\cdot AP\cdot AB\cdot \sin\angle PAB.$$

Из теоремы косинусов в $$\triangle APB$$:

$$\cos\angle PAB=\frac{AP^2+AB^2-BP^2}{2\cdot AP\cdot AB}.$$

Подставляя значения, получаем

$$\cos\angle PAB=\frac{20+25-25}{2\cdot 2\sqrt5\cdot 5}=\frac{20}{20\sqrt5}=\frac{1}{\sqrt5}.$$

Тогда

$$\sin\angle PAB=\sqrt{1-\cos^2\angle PAB}=\sqrt{1-\frac15}=\frac{2}{\sqrt5}.$$

Следовательно,

$$S_{APB}=\frac12\cdot 2\sqrt5\cdot 5\cdot \frac{2}{\sqrt5}=10\text{ м}^2.$$

Площадь основания параллелограмма найдём по диагоналям: его площадь равна удвоенной площади треугольника с основанием $$4$$ м и высотой $$3$$ м, то есть

$$S_{ABCD}=2\cdot \frac12\cdot 4\cdot 3=12\text{ м}^2.$$

Тогда полная площадь поверхности пирамиды:

$$S_{\text{пов}}=S_{ABCD}+2S_{APD}+2S_{APB}=12+2\cdot 5+2\cdot 10=42\text{ м}^2.$$

Ответ

$$42\text{ м}^2$$