Упр.1240 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что при осевой симметрии плоскости: а) прямая, параллельная оси симметрии, отображается на прямую, параллельную оси симметрии; б) прямая, перпендикулярная к оси симметрии, отображается на себя.
- Изобразите тетраэдр $$DABC$$, отметьте точку $$K$$ на ребре $$DC$$ и точки $$M$$ и $$N$$ граней $$ABC$$ и $$ACD$$. Постройте сечение тетраэдра плоскостью $$MNK$$.
а) Возьмём на прямой $$a$$ две произвольные точки $$A$$ и $$B$$. При осевой симметрии относительно прямой $$l$$ точки переходят в точки $$A’$$ и $$B’$$ так, что $$AA’ \perp l$$ и $$BB’ \perp l$$, а также $$AF=A’F$$ и $$BE=B’E$$, где $$F$$ и $$E$$ — основания перпендикуляров к оси симметрии.
Так как $$a \parallel l$$, то прямые $$AA’$$ и $$BB’$$ перпендикулярны $$l$$, а значит, параллельны между собой. Кроме того, $$AA’=BB’$$, поскольку точки $$A$$ и $$B$$ находятся на одинаковом расстоянии от оси симметрии.
Следовательно, четырёхугольник $$AA’B’B$$ — прямоугольник, откуда $$A’B’ \parallel AB$$. Но $$AB \subset a$$, значит, образ прямой $$a$$ — это прямая $$a’$$, параллельная оси $$l$$.
б) Пусть прямая $$a$$ перпендикулярна оси симметрии $$l$$. Возьмём на ней произвольную точку $$A$$ и обозначим её образ через $$A’$$. Тогда $$AA’ \perp l$$. Но прямая $$a$$ тоже перпендикулярна $$l$$, значит, через точку $$A$$ проходит единственная прямая, перпендикулярная $$l$$. Следовательно, точка $$A’$$ лежит на той же прямой $$a$$.
Так как это верно для любой точки прямой $$a$$, то при осевой симметрии прямая $$a$$ отображается на себя.
Ответ: а) прямая, параллельная оси симметрии, переходит в прямую, параллельную оси симметрии; б) прямая, перпендикулярная оси симметрии, отображается на себя.
