Упр.1240 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Докажите, что при осевой симметрии плоскости: а) прямая, параллельная оси симметрии, отображается на прямую, параллельную оси симметрии; б) прямая, перпендикулярная к оси симметрии, отображается на себя. Изобразите тетраэдр DABC, отметьте точку К на ребре DC и точки М и N граней ABC и ACD. Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNK.

а) Пусть прямая $$a$$ параллельна оси симметрии $$l$$. Возьмём на прямой $$a$$ любые точки $$A$$ и $$B$$ и обозначим их образы при осевой симметрии через $$A’$$ и $$B’$$.

Так как при осевой симметрии сохраняются расстояния, то $$AA’ \perp l$$, $$BB’ \perp l$$ и $$AF=A’F$$, $$BE=B’E$$, где $$F$$ и $$E$$ — основания перпендикуляров из $$A$$ и $$B$$ на прямую $$l$$.

Поскольку $$a \parallel l$$, то $$AA’ \parallel BB’$$. Кроме того, $$AA’=BB’$$. Значит, четырёхугольник $$AA’B’B$$ — прямоугольник, откуда $$A’B’ \parallel AB$$.

Следовательно, образ прямой $$a$$ — прямая $$a’$$, причём $$a’ \parallel a$$. Так как $$a \parallel l$$, то и $$a’ \parallel l$$.

б) Пусть прямая $$a$$ перпендикулярна оси симметрии $$l$$. Возьмём на ней произвольную точку $$A$$ и обозначим её образ через $$A’$$.

Так как $$AA’ \perp l$$, а сама прямая $$a \perp l$$, то точки $$A$$ и $$A’$$ лежат на одной прямой $$a$$. Значит, каждой точке прямой $$a$$ при симметрии соответствует точка той же прямой.

Следовательно, прямая $$a$$ отображается на себя: $$a’ = a$$.

Построение сечения тетраэдра $$DABC$$ плоскостью $$MNK$$.

Точки $$M$$ и $$N$$ лежат на гранях $$ABC$$ и $$ACD$$, а точка $$K$$ — на ребре $$DC$$. Плоскость $$MNK$$ пересекает грань $$ACD$$ по отрезку $$NK$$, а грань $$ABC$$ — по отрезку, проходящему через $$M$$ и пересекающему ребро $$AC$$.

Обозначим точку пересечения прямой $$MN$$ с ребром $$AC$$ через $$G$$, а точку пересечения прямой $$NK$$ с ребром $$AD$$ через $$E$$. Тогда в грани $$ABC$$ проводим отрезок $$MG$$, а в грани $$ACD$$ — отрезок $$GE$$ и отрезок $$EK$$. Далее плоскость пересекает грань $$DBC$$ по отрезку $$KH$$, где $$H$$ — точка пересечения с ребром $$BC$$, и грань $$ABD$$ по отрезку $$EH$$.

Искомое сечение — четырёхугольник $$EGHK$$.

Ответ

а) Образ прямой, параллельной оси симметрии, — прямая, параллельная оси симметрии.
б) Образ прямой, перпендикулярной оси симметрии, — сама эта прямая.
Сечение тетраэдра $$DABC$$ плоскостью $$MNK$$ — четырёхугольник $$EGHK$$.