Упр.1239 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Около данной окружности опишите: а) правильный четырёхугольник; б) правильный восьмиугольник. Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы равна 8 см и составляет с боковым ребром угол в 30°. Найдите объём призмы.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольник $$\triangle ADD_1$$. По условию $$AD_1=8\text{ см}$$ и $$\angle ADD_1=30^\circ$$.

Найдём высоту призмы:

$$DD_1=AD_1\cdot \cos 30^\circ=8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\text{ см}.$$

Теперь найдём сторону основания. В этом же треугольнике

$$AD=AD_1\cdot \sin 30^\circ=8\cdot \frac{1}{2}=4\text{ см}.$$

Основание призмы — правильный шестиугольник. Его сторона равна радиусу описанной окружности, а радиус равен половине диагонали $$AD$$:

$$a=AO=AB=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}\cdot 4=2\text{ см}.$$

Площадь основания правильного шестиугольника:

$$S_{\text{осн}}=6\cdot \frac{1}{2}a^2\sin 60^\circ=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}a^2.$$

Подставим $$a=2$$:

$$S_{\text{осн}}=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 2^2=6\sqrt{3}\text{ см}^2.$$