Упр.1238 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Около данной окружности опишите: а) правильный треугольник; б) правильный шестиугольник.
2. Найдите объём прямой призмы $$ABCA_1B_1C_1$$, если $$AB=BC=m$$, угол $$ABC=\varphi$$ и $$BB_1=BD$$, где $$BD$$ — высота треугольника $$ABC$$.

В равнобедренном треугольнике $$ABC$$, так как $$AB=BC=m$$, высота $$BD$$, проведённая к основанию $$AC$$, является также медианой и биссектрисой. Поэтому

$$BD=BC\cdot \cos \frac{\varphi}{2}=m\cos \frac{\varphi}{2}.$$

Площадь основания призмы равна площади треугольника $$ABC$$:

$$S_{ABC}=\frac12 AB\cdot BC\cdot \sin \angle ABC=\frac12 m^2\sin \varphi.$$

Высота прямой призмы равна боковому ребру:

$$h=BB_1=BD=m\cos \frac{\varphi}{2}.$$

Тогда объём призмы:

$$V=S_{ABC}\cdot h=\frac12 m^2\sin \varphi \cdot m\cos \frac{\varphi}{2}=\frac12 m^3\sin \varphi \cos \frac{\varphi}{2}.$$

Ответ: $$\frac12 m^3\sin \varphi \cos \frac{\varphi}{2}$$.