Упр.1238 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Около данной окружности опишите: а) правильный треугольник; б) правильный шестиугольник. Найдите объём прямой призмы АВСА1В1С1, если АВ=ВС = m, угол ABC = ф и ВВ1 = BD, где BD — высота треугольника ABC.

Подробный ответ

Так как $$AB=BC=m,$$ то треугольник $$ABC$$ равнобедренный с основанием $$AC.$$ Следовательно, высота $$BD,$$ проведённая к основанию, является также медианой и биссектрисой.

Тогда в прямоугольном треугольнике $$BCD$$ имеем

$$\angle CBD=\frac{\varphi}{2},$$

откуда

$$BD=BC\cdot \cos\frac{\varphi}{2}=m\cos\frac{\varphi}{2}.$$

Найдём площадь основания призмы:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC\cdot \sin\angle ABC=\frac{1}{2}m^2\sin\varphi.$$

Высота прямой призмы равна боковому ребру:

$$h=BB_1=BD=m\cos\frac{\varphi}{2}.$$

Тогда объём призмы:

$$ V=S_{ABC}\cdot h =\frac{1}{2}m^2\sin\varphi\cdot m\cos\frac{\varphi}{2} =\frac{1}{2}m^3\sin\varphi\cos\frac{\varphi}{2}. $$