Упр.1236 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Постройте правильный восьмиугольник, сторона которого равна данному отрезку.
2. Сумма площадей трёх граней прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, равна $$404\ \text{дм}^2$$, а его рёбра пропорциональны числам $$3$$, $$7$$ и $$8$$. Найдите диагональ параллелепипеда.

Обозначим рёбра прямоугольного параллелепипеда так: $$AB=DC=A_1B_1=D_1C_1=a,$$ $$AD=BC=A_1D_1=B_1C_1=b,$$ $$AA_1=BB_1=CC_1=DD_1=c.$$

По условию $$a:b:c=3:7:8.$$ Пусть $$a=3x,$$ $$b=7x,$$ $$c=8x.$$

Сумма площадей трёх граней, имеющих общую вершину, равна

$$ab+bc+ac=404.$$

Подставим:

$$3x\cdot 7x+7x\cdot 8x+3x\cdot 8x=404,$$

$$21x^2+56x^2+24x^2=404,$$

$$101x^2=404,$$

$$x^2=4,\quad x=2.$$

Тогда

$$a=6\text{ дм},\quad b=14\text{ дм},\quad c=16\text{ дм}.$$

Диагональ прямоугольного параллелепипеда найдём по формуле:

$$d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}.$$

Следовательно,

$$d=\sqrt{6^2+14^2+16^2}=\sqrt{36+196+256}=\sqrt{488}=2\sqrt{122}\text{ дм}.$$

Ответ: $$2\sqrt{122}\text{ дм}.$$