Упр.1234 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Основания трапеции, около которой можно описать окружность, равны 4 см и 14 см, а одна из боковых сторон равна 13 см. Найдите длину описанной окружности. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте: а) его сечения плоскостями АВС1 и DCB1, а также отрезок, по которому эти сечения пересекаются; б) его сечение плоскостью, проходящей через ребро СС1 и точку пересечения диагоналей грани AA1D1D.
а) Так как около трапеции можно описать окружность, то трапеция равнобокая, значит $$AB=CD.$$
Опустим высоту $$BH$$ на основание $$AD$$. Тогда в равнобокой трапеции проекции боковых сторон на большее основание равны, поэтому
$$AH=\frac{AD-BC}{2}=\frac{14-4}{2}=5\text{ см}.$$
В прямоугольном треугольнике $$ABH$$ имеем:
$$BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\text{ см}.$$
Пусть $$O$$ — центр описанной окружности. Тогда он лежит на серединном перпендикуляре к основанию $$AD$$, а также на серединном перпендикуляре к боковой стороне $$AB$$.
Обозначим $$AE=7\text{ см}$$, так как $$E$$ — середина основания $$AD$$. Пусть $$OF=x$$, где $$F$$ — середина хорды $$BC$$. Тогда по теореме Пифагора:
$$R^2=AE^2+OF^2=49+x^2,$$
и одновременно
$$R^2=BF^2+OF^2=12^2+(12-x)^2.$$
Приравниваем:
$$49+x^2=144+144-24x+x^2,$$
$$24x=239,$$
$$x=\frac{239}{24}\text{ см}.$$
Тогда
$$R^2=49+\left(\frac{239}{24}\right)^2=\frac{38025}{576},$$
$$R=\frac{195}{24}=\frac{65}{8}\text{ см}.$$
Длина описанной окружности:
$$C=2\pi R=2\pi\cdot \frac{65}{8}=\frac{65\pi}{4}\text{ см}.$$
б) Построим сечения параллелепипеда $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ плоскостями $$ABC_1$$ и $$DCB_1$$.
Плоскость $$ABC_1$$ пересекает грань $$ABB_1A_1$$ по отрезку $$AB_1$$, а грань $$BCC_1B_1$$ — по отрезку $$BC_1$$. Значит, сечение — треугольник $$ABC_1$$.
Плоскость $$DCB_1$$ пересекает грань $$DCC_1D_1$$ по отрезку $$DC_1$$, а грань $$ABB_1A_1$$ — по отрезку $$DB_1$$. Значит, сечение — треугольник $$DCB_1$$.
Общие точки этих сечений — точки $$B$$ и $$C_1$$, следовательно, отрезок их пересечения — $$BC_1$$.
б) Пусть $$E$$ — точка пересечения диагоналей грани $$AA_1D_1D$$. Через ребро $$CC_1$$ и точку $$E$$ проводим плоскость. Она пересекает ребро $$AA_1$$ в точке $$F$$ и ребро $$DD_1$$ в точке $$G$$. Тогда искомое сечение — четырёхугольник $$FC_1CG$$.
Ответ
а) $$\frac{65\pi}{4}\text{ см}$$; б) сечения: $$ABC_1$$ и $$DCB_1$$, их линия пересечения — $$BC_1$$; во втором пункте сечение — четырёхугольник $$FC_1CG$$.
