Упр.1233 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Фигура ограничена большими дугами двух окружностей, имеющих общую хорду, длина которой равна $$6\ \text{см}$$. Для одной окружности эта хорда является стороной вписанного квадрата, для другой — стороной правильного вписанного шестиугольника. Найдите сумму длин этих дуг.
- Докажите, что сумма квадратов четырёх диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов двенадцати его рёбер.
Обозначим длины дуг через $$l_1$$ и $$l_2$$.
Для первой окружности хорда $$AB=6$$ см является стороной вписанного квадрата. Тогда центральный угол, опирающийся на эту хорду, равен $$90^\circ$$, а длина меньшей дуги составляет четверть длины окружности. Значит, большая дуга равна
$$l_1=\frac{3}{4}\cdot 2\pi R_1.$$
Найдём радиус первой окружности по формуле хорды:
$$AB=2R_1\sin\frac{90^\circ}{2}=2R_1\sin45^\circ=2R_1\cdot\frac{\sqrt2}{2}=R_1\sqrt2.$$
Отсюда
$$6=R_1\sqrt2,\qquad R_1=3\sqrt2.$$
Тогда
$$l_1=\frac{3}{4}\cdot 2\pi\cdot 3\sqrt2=\frac{9\sqrt2\pi}{2}.$$
Для второй окружности та же хорда $$AB=6$$ см является стороной вписанного правильного шестиугольника. В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу, значит
$$R_2=6.$$
Центральный угол, опирающийся на сторону правильного шестиугольника, равен $$60^\circ$$, поэтому большая дуга соответствует углу $$300^\circ$$. Тогда
$$l_2=\frac{300^\circ}{360^\circ}\cdot 2\pi R_2=\frac{5}{6}\cdot 2\pi\cdot 6=10\pi.$$
Сумма длин дуг:
$$l_1+l_2=\frac{9\sqrt2\pi}{2}+10\pi=\frac{\pi}{2}\left(20+9\sqrt2\right).$$
Ответ: $$\frac{\pi}{2}\left(20+9\sqrt2\right)\text{ см}.$$
