Упр.1232 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В правильный многоугольник вписана окружность. Докажите, что отношение площади круга, ограниченного этой окружностью, к площади многоугольника равно отношению длины окружности к периметру многоугольника.
2. Докажите, что диагональ параллелепипеда меньше суммы трёх рёбер, имеющих общую вершину.

Обозначим радиус вписанной окружности через $$r$$, а число сторон правильного многоугольника — через $$n$$.

Площадь круга равна

$$S_{\text{кр}}=\pi r^2,$$

а длина окружности —

$$C=2\pi r.$$

Площадь правильного многоугольника выражается через его периметр $$P_n$$ и радиус вписанной окружности:

$$S_n=\frac12 P_n\cdot r.$$

Тогда

$$\frac{S_{\text{кр}}}{S_n} = \frac{\pi r^2}{\frac12 P_n r} = \frac{2\pi r}{P_n} = \frac{C}{P_n}.$$

Следовательно, отношение площади круга к площади многоугольника равно отношению длины окружности к периметру многоугольника.