Упр.1231 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Лесной участок имеет форму круга. Чтобы обойти этот участок по опушке, идя со скоростью $$4\ \text{км/ч}$$, нужно затратить на $$45\ \text{мин}$$ больше, чем для того, чтобы пересечь его по диаметру. Найдите длину опушки данного участка.
2. Отношение объёмов двух шаров равно $$8$$. Как относятся площади их поверхностей?

Пусть радиусы шаров равны $$R_1$$ и $$R_2$$. Тогда их объёмы выражаются формулой

$$V=\frac{4}{3}\pi R^3.$$

По условию

$$\frac{V_2}{V_1}=8.$$

Тогда

$$\frac{\frac{4}{3}\pi R_2^3}{\frac{4}{3}\pi R_1^3}=\left(\frac{R_2}{R_1}\right)^3=8,$$

откуда

$$\frac{R_2}{R_1}=\sqrt[3]{8}=2.$$

Площади поверхностей шаров вычисляются по формуле

$$S=4\pi R^2.$$

Следовательно,

$$\frac{S_2}{S_1}=\frac{4\pi R_2^2}{4\pi R_1^2}=\left(\frac{R_2}{R_1}\right)^2=2^2=4.$$

Ответ: $$\frac{S_2}{S_1}=4$$, то есть $$S_2:S_1=4:1$$.