Упр.123 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

На основании $$BC$$ равнобедренного треугольника $$ABC$$ отмечены точки $$M$$ и $$N$$ так, что $$BM=CN$$. Докажите, что:
а) $$\triangle BAM=\triangle CAN$$;
б) треугольник $$AMN$$ равнобедренный.
На биссектрисе угла $$A$$ взята точка $$D$$, а на сторонах этого угла — точки $$B$$ и $$C$$ такие, что $$\angle ADB=\angle ADC$$. Докажите, что $$BD=CD$$.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольники $$\triangle ABM$$ и $$\triangle ACN$$.

Так как $$ABC$$ — равнобедренный, то $$AB=AC$$ и $$\angle ABC=\angle BCA$$. Точки $$M$$ и $$N$$ лежат на основании $$BC$$, значит лучи $$BM$$ и $$CN$$ совпадают с прямой $$BC$$. Поэтому

$$\angle ABM=\angle ABC,\qquad \angle ACN=\angle BCA.$$

Следовательно, $$\angle ABM=\angle ACN$$.

По условию $$BM=CN$$, а также $$AB=AC$$. Значит, в треугольниках $$ABM$$ и $$ACN$$ равны две стороны и угол между ними:

$$AB=AC,\qquad BM=CN,\qquad \angle ABM=\angle ACN.$$

Отсюда $$\triangle ABM \cong \triangle ACN$$.

Из равенства треугольников получаем:

$$AM=AN.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$AMN$$. В нём $$AM=AN$$, значит он равнобедренный.

Ответ: а) $$\triangle ABM \cong \triangle ACN$$; б) $$\triangle AMN$$ равнобедренный.