Упр.123 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: В На основании ВС равнобедренного треугольника ABC отмечены точки М и N так, что ВМ = CN. Докажите, что: а) треугольникВАМ = треугольникCAN; б) треугольник AMN равнобедренный. На биссектрисе угла А взята точка D, а на сторонах этого угла — точки В и С такие, что уголADB = уголADC. Докажите, что BD = CD.

а) Рассмотрим треугольники $$\triangle ACB$$ и $$\triangle BAM$$.

Имеем:

• $$AC=AB$$ — по условию, так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный;
• $$BC=BM+MC$$, а также $$BC=CN+NB$$; при этом по условию $$BM=CN$$, значит точки $$M$$ и $$N$$ расположены на основании так, что соответствующие отрезки равны;
• углы при основании равнобедренного треугольника равны, поэтому соответствующие углы при вершинах, образованные сторонами $$AB$$ и $$AC$$ с основанием, равны.

Следовательно, треугольники $$\triangle BAM$$ и $$\triangle CAN$$ равны по двум сторонам и углу между ними:

$$AB=AC,\quad BM=CN,\quad \angle ABM=\angle ACN.$$

Значит,

$$\triangle BAM \cong \triangle CAN.$$

Из равенства треугольников получаем:

$$AM=AN.$$

б) Рассмотрим треугольник $$\triangle AMN$$. В нём $$AM=AN$$, значит он равнобедренный.

Итак, $$\triangle AMN$$ равнобедренный.

Ответ

а) $$\triangle BAM \cong \triangle CAN$$; б) $$\triangle AMN$$ равнобедренный.

Ход решения

Пусть $$AD$$ — биссектриса угла $$A$$, а точки $$B$$ и $$C$$ лежат на его сторонах. Рассмотрим треугольники $$\triangle ABD$$ и $$\triangle ACD$$.

Имеем:

• $$AD$$ — общая сторона;
• $$\angle BAD=\angle CAD$$, так как $$AD$$ — биссектриса;
• $$\angle ADB=\angle ADC$$ — по условию.

Следовательно, $$\triangle ABD \cong \triangle ACD$$ по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Тогда соответствующие стороны равны:

$$BD=CD.$$

Ответ

$$BD=CD.$$