Упр.1228 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Обозначим через $$O$$ центр окружности, описанной около квадрата $$A_1A_2A_3A_4$$. Тогда $$OA_1=OA_2=OA_3=OA_4=R$$, а диагональ квадрата равна диаметру окружности, то есть $$A_1A_3=A_2A_4=2R$$.

По условию

$$A_1B_1=A_2B_2=A_3B_3=A_4B_4=R,$$

$$A_1C_1=A_2C_2=A_3C_3=A_4C_4=R.$$

Так как стороны квадрата равны $$A_1A_2=A_2A_3=A_3A_4=A_4A_1=R\sqrt2,$$ то на стороне $$A_1A_2$$ имеем

$$A_1B_1=A_2C_2=R,$$

следовательно,

$$B_1A_2=A_1A_2-A_1B_1=R\sqrt2-R=R(\sqrt2-1),$$

$$A_2C_2=A_2A_1-A_1C_1=R\sqrt2-R=R(\sqrt2-1).$$

Аналогично получаем, что все стороны восьмиугольника равны:

$$B_1C_3=C_3B_2=B_2C_4=C_4B_3=B_3C_1=C_1B_4=B_4C_2=C_2B_1.$$

Докажем равенство одной из них, например $$B_1C_3=C_2B_1$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами, равными расстояниям от точки $$B_1$$ до соседних вершин квадрата. По теореме Пифагора

$$B_1C_3=\sqrt{(R\sqrt2-R)^2+(R\sqrt2-R)^2}=R(\sqrt2-1)\sqrt2.$$

Аналогично получается то же значение для остальных сторон, значит все стороны восьмиугольника равны, а его углы равны как соответствующие углы, образованные одинаково расположенными отрезками. Следовательно, восьмиугольник $$B_1C_3B_2C_4B_3C_1B_4C_2$$ — правильный.

Теперь найдём его площадь. Правильный восьмиугольник можно разбить на 8 равных треугольников с вершиной в центре $$O$$. Тогда

$$S_8=8\cdot S_{OB_1C_2}.$$

Найдём сторону восьмиугольника. Из прямоугольного треугольника с гипотенузой $$OB_1=R$$ и катетом $$A_1B_1=R$$ получаем, что

$$OB_1=OC_2=R\sqrt{2-\sqrt2}.$$

Угол между соседними радиусами правильного восьмиугольника равен

$$\angle B_1OC_2=45^\circ.$$

Тогда

$$S_{OB_1C_2}=\frac12\cdot OB_1\cdot OC_2\cdot \sin45^\circ$$

$$=\frac12\cdot R^2(2-\sqrt2)\cdot \frac{\sqrt2}{2}=\frac{(\sqrt2-1)R^2}{2}.$$

Следовательно,

$$S_8=8\cdot \frac{(\sqrt2-1)R^2}{2}=4(\sqrt2-1)R^2.$$

Ответ: $$S_8=4(\sqrt2-1)R^2.$$