Упр.1225 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Диагонали А1А6 и А2А9 правильного двенадцатиугольника пересекаются в точке В (рис. 318). Докажите, что: а) треугольники А1А2В и А6А9В равносторонние; б) А1А6 = 2r, где r— радиус вписанной в двенадцатиугольник окружности. Сферу радиуса R покрасили слоем краски толщины d. Слоем такой же толщины покрасили многоугольник и затратили при этом такое же количество краски. Найдите площадь многоугольника.

Подробный ответ

Объём краски, затраченной на покраску сферы слоем толщины $$d$$, равен разности объёмов шаров радиусов $$R+d$$ и $$R$$:

$$ V=\frac{4}{3}\pi(R+d)^3-\frac{4}{3}\pi R^3 $$

Раскроем скобки:

$$ V=\frac{4}{3}\pi\bigl(R^3+3R^2d+3Rd^2+d^3-R^3\bigr) =\frac{4}{3}\pi d(3R^2+3Rd+d^2) $$

Если многоугольник покрасили слоем той же толщины $$d$$ и израсходовали столько же краски, то объём краски равен $$S\cdot d$$, где $$S$$ — площадь многоугольника.

Следовательно,

$$ S\cdot d=\frac{4}{3}\pi d(3R^2+3Rd+d^2) $$

Так как $$d\neq 0$$, делим обе части на $$d$$:

$$ S=\frac{4}{3}\pi(3R^2+3Rd+d^2) $$