Упр.1224 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Найдите отношение периметров правильного треугольника и квадрата: а) вписанных в одну и ту же окружность; б) описанных около одной и той же окружности. Докажите, что объём шара радиуса R равен 4/3пи R3.

Подробный ответ

а) Пусть радиус описанной окружности равен $$R$$.

Для правильного треугольника со стороной $$a_3$$ имеем

$$a_3=2R\sin\frac{180^\circ}{3}=2R\sin 60^\circ=2R\cdot\frac{\sqrt3}{2}=R\sqrt3.$$

Тогда его периметр

$$P_3=3a_3=3R\sqrt3.$$

Для квадрата со стороной $$a_4$$:

$$a_4=2R\sin\frac{180^\circ}{4}=2R\sin 45^\circ=2R\cdot\frac{\sqrt2}{2}=R\sqrt2.$$

Следовательно,

$$P_4=4a_4=4R\sqrt2.$$

Тогда отношение периметров равно

$$\frac{P_3}{P_4}=\frac{3R\sqrt3}{4R\sqrt2}=\frac{3\sqrt6}{8}.$$

б) Пусть окружность вписана в правильный треугольник и квадрат, её радиус равен $$r$$.

Для правильного треугольника радиус вписанной окружности выражается формулой

$$r=R\cos\frac{180^\circ}{3}=R\cos 60^\circ=\frac{R}{2},$$

откуда

$$R=2r.$$

Для квадрата:

$$r=R\cos\frac{180^\circ}{4}=R\cos 45^\circ=R\cdot\frac{\sqrt2}{2},$$

значит

$$R=\frac{2r}{\sqrt2}=r\sqrt2.$$

Тогда

$$P_3=3a_3=3R\sqrt3=3\cdot 2r\sqrt3=6\sqrt3\,r,$$

$$P_4=4a_4=4R\sqrt2=4\cdot r\sqrt2\cdot\sqrt2=8r.$$

Следовательно,

$$\frac{P_3}{P_4}=\frac{6\sqrt3\,r}{8r}=\frac{3\sqrt3}{4}.$$

Доказательство формулы объёма шара.

Рассмотрим полушар радиуса $$R$$ и тело $$T$$, полученное из цилиндра радиуса $$R$$ и высоты $$R$$, из которого вырезан конус с тем же радиусом основания и высотой $$R$$.

Проведём сечение плоскостью, параллельной основанию. На высоте $$x$$ от центра шара сечение полушара — круг радиуса $$\sqrt{R^2-x^2}$$, поэтому его площадь равна

$$S_1=\pi\left(R^2-x^2\right).$$

Сечение тела $$T$$ — кольцо. Его площадь равна разности площадей двух кругов:

$$S_2=\pi R^2-\pi x^2=\pi\left(R^2-x^2\right).$$

Значит, площади соответствующих сечений равны, а следовательно, равны и объёмы полушара и тела $$T$$.

Найдём объём тела $$T$$:

$$V_T=V_{\text{цил}}-V_{\text{кон}}=\pi R^2\cdot R-\frac13\pi R^2\cdot R=\frac23\pi R^3.$$

Это объём полушара, значит объём всего шара вдвое больше:

$$V_{\text{шара}}=2V_T=2\cdot\frac23\pi R^3=\frac43\pi R^3.$$