Упр.1224 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите отношение периметров правильного треугольника и квадрата: а) вписанных в одну и ту же окружность; б) описанных около одной и той же окружности.
2. Докажите, что объём шара радиуса $$R$$ равен $$\frac{4}{3}\pi R^3$$.

Обозначим радиус описанной окружности через $$R$$, а радиус вписанной окружности — через $$r$$.

а) Правильный треугольник и квадрат вписаны в одну окружность

Для правильного треугольника сторона выражается через радиус описанной окружности так:

$$a_3=2R\sin\frac{180^\circ}{3}=2R\sin60^\circ=2R\cdot\frac{\sqrt3}{2}=R\sqrt3.$$

Тогда его периметр:

$$P_3=3a_3=3R\sqrt3.$$

Для квадрата:

$$a_4=2R\sin\frac{180^\circ}{4}=2R\sin45^\circ=2R\cdot\frac{\sqrt2}{2}=R\sqrt2.$$

Следовательно,

$$P_4=4a_4=4R\sqrt2.$$

Итак,

$$\frac{P_3}{P_4}=\frac{3R\sqrt3}{4R\sqrt2}=\frac{3\sqrt6}{8}.$$

б) Правильный треугольник и квадрат описаны около одной окружности

Для правильного треугольника радиус вписанной окружности равен

$$r=R\cos\frac{180^\circ}{3}=R\cos60^\circ=\frac{R}{2},$$

значит, $$R=2r$$.

Для квадрата:

$$r=R\cos\frac{180^\circ}{4}=R\cos45^\circ=R\cdot\frac{\sqrt2}{2},$$

откуда

$$R=\frac{2r}{\sqrt2}=\sqrt2\,r.$$

Тогда периметр правильного треугольника:

$$P_3=3a_3=3\cdot 2R\sin60^\circ=3\cdot 2\cdot 2r\cdot\frac{\sqrt3}{2}=6\sqrt3\,r.$$

Периметр квадрата:

$$P_4=4a_4=4\cdot 2R\sin45^\circ=4\cdot 2\cdot \sqrt2\,r\cdot\frac{\sqrt2}{2}=8r.$$

Следовательно,

$$\frac{P_3}{P_4}=\frac{6\sqrt3\,r}{8r}=\frac{3\sqrt3}{4}.$$

Ответ: а) $$P_3:P_4=3\sqrt6:8$$; б) $$P_3:P_4=3\sqrt3:4$$.