Упр.1222 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. На стороне правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса $$3\ \text{дм}$$, построен квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата.
2. Площадь полной поверхности конуса равна $$45\pi\ \text{дм}^2$$. Развёртка боковой поверхности конуса представляет собой круговой сектор с дугой в $$60^\circ$$. Найдите объём конуса.

Пусть сторона правильного треугольника равна $$a_3$$, а сторона квадрата — $$a_4$$.

Для правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса $$R=3$$ дм, имеем формулу

$$a_3=2R\sin 60^\circ.$$

Тогда

$$a_3=2\cdot 3\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\text{ дм}.$$

По условию на стороне этого треугольника построен квадрат, значит его сторона равна стороне треугольника:

$$a_4=3\sqrt{3}\text{ дм}.$$

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине диагонали квадрата. Диагональ квадрата:

$$d=a_4\sqrt{2}=3\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}=3\sqrt{6}\text{ дм}.$$

Следовательно,

$$R_{\text{кв}}=\frac{d}{2}=\frac{3\sqrt{6}}{2}\text{ дм}.$$

Ответ

$$\frac{3\sqrt{6}}{2}\text{ дм}$$