Упр.1219 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Сторона квадрата, изображённого на рисунке 317, равна $$a$$. Вычислите площадь закрашенной фигуры.
2. Докажите, что объём конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Обозначим площадь основания конуса через $$S$$, а высоту — через $$h$$.

Рассмотрим конус и пирамиду с одинаковыми площадями оснований и одинаковыми высотами. Проведём секущую плоскость, параллельную плоскости основания, на расстоянии $$x$$ от вершины. Тогда в сечении конуса получится круг, а в сечении пирамиды — фигура, подобная основанию.

Из подобия соответствующих треугольников следует, что линейные размеры сечений относятся как расстояния от вершины, то есть

$$\frac{r}{R}=\frac{x}{h},$$

где $$R$$ — радиус основания конуса, $$r$$ — радиус сечения. Тогда площадь сечения конуса равна

$$S_1=\pi r^2=\pi R^2\left(\frac{x}{h}\right)^2=S\left(\frac{x}{h}\right)^2.$$

Аналогично площадь соответствующего сечения пирамиды равна

$$S_2=S\left(\frac{x}{h}\right)^2.$$

Следовательно, площади сечений конуса и пирамиды на одинаковом расстоянии от вершины равны. По принципу Кавальери объёмы этих тел равны.

Но объём пирамиды известен:

$$V_{\text{пир}}=\frac{1}{3}Sh.$$

Значит, и объём конуса равен

$$V_{\text{кон}}=\frac{1}{3}Sh.$$

Ответ: $$V=\frac{1}{3}Sh$$.