Упр.1218 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Площадь сектора с центральным углом $$72^\circ$$ равна $$S$$. Найдите радиус сектора.
2. Один цилиндр получен вращением прямоугольника $$ABCD$$ вокруг прямой $$AB$$, а другой цилиндр — вращением этого же прямоугольника вокруг прямой $$BC$$. а) Докажите, что площади боковых поверхностей этих цилиндров равны, б) Найдите отношение площадей полных поверхностей этих цилиндров, если $$AB=a$$, $$BC=b$$.

Площадь сектора выражается формулой

$$S=\frac{\pi R^2\cdot 72^\circ}{360^\circ}.$$

Так как $$\frac{72}{360}=\frac15,$$ то

$$S=\frac{\pi R^2}{5}.$$

Отсюда

$$R^2=\frac{5S}{\pi},$$

значит,

$$R=\sqrt{\frac{5S}{\pi}}.$$

Ответ: $$R=\sqrt{\frac{5S}{\pi}}.$$

Ход решения

При вращении прямоугольника вокруг стороны $$AB$$ получаем цилиндр с высотой $$AB=a$$ и радиусом основания $$BC=b$$. Тогда площадь боковой поверхности равна

$$S_{1\text{ бок}}=2\pi r h=2\pi\cdot b\cdot a=2\pi ab.$$

При вращении того же прямоугольника вокруг стороны $$BC$$ получаем цилиндр с высотой $$BC=b$$ и радиусом основания $$AB=a$$. Тогда

$$S_{2\text{ бок}}=2\pi\cdot a\cdot b=2\pi ab.$$

Следовательно,

$$S_{1\text{ бок}}=S_{2\text{ бок}}.$$

Найдём отношение полных поверхностей. Для первого цилиндра

$$S_1=2\pi b(b+a),$$

для второго

$$S_2=2\pi a(a+b).$$

Тогда

$$\frac{S_1}{S_2}=\frac{2\pi b(b+a)}{2\pi a(a+b)}=\frac{b}{a}.$$

Ответ: а) $$S_{1\text{ бок}}=S_{2\text{ бок}}$$; б) $$\frac{S_1}{S_2}=\frac{b}{a}.$$