Упр.1216 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: На сторонах прямоугольного треугольника как на диаметрах построены три полукруга. Докажите, что площадь полукруга, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей полукругов, построенных на катетах. Диаметр основания цилиндра равен 1 м, высота цилиндра равна длине окружности основания. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Пусть $$\triangle ABC$$ — прямоугольный, $$\angle C=90^\circ$$. На сторонах $$AB$$, $$AC$$ и $$CB$$ как на диаметрах построены полукруги.

Площадь полукруга с диаметром $$d$$ равна

$$S=\frac{1}{2}\pi R^2=\frac{1}{2}\pi\left(\frac d2\right)^2=\frac{\pi d^2}{8}.$$

Тогда

$$S_{AB}=\frac{\pi AB^2}{8}, \qquad S_{AC}=\frac{\pi AC^2}{8}, \qquad S_{CB}=\frac{\pi CB^2}{8}.$$

Так как $$\triangle ABC$$ прямоугольный, то по теореме Пифагора

$$AB^2=AC^2+CB^2.$$

Умножим это равенство на $$\frac{\pi}{8}$$:

$$\frac{\pi AB^2}{8}=\frac{\pi AC^2}{8}+\frac{\pi CB^2}{8}.$$

Следовательно,

$$S_{AB}=S_{AC}+S_{CB}.$$

Теперь решим вторую задачу. Пусть радиус основания цилиндра равен $$R$$. Тогда

$$AB=1\text{ м}, \qquad R=\frac{AB}{2}=\frac12\text{ м}.$$

Высота цилиндра равна длине окружности основания:

$$H=2\pi R=2\pi\cdot \frac12=\pi\text{ м}.$$

Площадь боковой поверхности цилиндра:

$$S_{\text{бок}}=2\pi RH=2\pi\cdot \frac12 \cdot \pi=\pi^2\text{ м}^2.$$

Ответ

$$S_{AB}=S_{AC}+S_{CB}; \qquad S_{\text{бок}}=\pi^2\text{ м}^2.$$