Упр.1216 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Задание учебника 2025 года. На сторонах прямоугольного треугольника как на диаметрах построены три полукруга. Докажите, что площадь полукруга, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей полукругов, построенных на катетах.
2. Задание учебника 2023 года. Диаметр основания цилиндра равен $$1\ \text{м}$$, высота цилиндра равна длине окружности основания. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Пусть $$R_1=\frac{AC}{2},\; R_2=\frac{CB}{2},\; R=\frac{AB}{2}.$$ Тогда площади построенных полукругов равны

$$S_{AC}=\frac{1}{2}\pi R_1^2=\frac{\pi AC^2}{8},$$

$$S_{CB}=\frac{1}{2}\pi R_2^2=\frac{\pi CB^2}{8},$$

$$S_{AB}=\frac{1}{2}\pi R^2=\frac{\pi AB^2}{8}.$$

Так как $$\triangle ABC$$ прямоугольный, то по теореме Пифагора

$$AB^2=AC^2+CB^2.$$

Умножим это равенство на $$\frac{\pi}{8}$$:

$$\frac{\pi AB^2}{8}=\frac{\pi AC^2}{8}+\frac{\pi CB^2}{8}.$$

Следовательно,

$$S_{AB}=S_{AC}+S_{CB},$$

то есть площадь полукруга, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей полукругов, построенных на катетах.