Упр.1207 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Найдите площадь круга, описанного около: а) прямоугольника со сторонами $$a$$ и $$b$$; б) прямоугольного треугольника с катетом $$a$$ и противолежащим углом $$a$$; в) равнобедренного треугольника с основанием $$a$$ и высотой $$h$$, проведённой к основанию.
Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 5 см, а одна из диагоналей равна 8 см. Найдите боковые рёбра пирамиды, если её высота проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 7 см.

Подробный ответ

а) У прямоугольника диагонали равны и пересекаются в центре окружности, значит диаметр описанной окружности равен диагонали прямоугольника.

Диагональ прямоугольника со сторонами $$a$$ и $$b$$:

$$d=\sqrt{a^2+b^2}.$$

Тогда радиус окружности

$$R=\frac d2=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}.$$

Площадь круга:

$$S=\pi R^2=\pi\left(\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}\right)^2=\frac{\pi(a^2+b^2)}{4}.$$

б) В прямоугольном треугольнике гипотенуза является диаметром описанной окружности. Если катет равен $$a$$ и противолежащий ему угол равен $$\alpha$$, то

$$\sin \alpha=\frac{a}{d},$$

где $$d$$ — гипотенуза. Следовательно,

$$d=\frac{a}{\sin \alpha}.$$

Тогда

$$R=\frac d2=\frac{a}{2\sin \alpha}.$$

Площадь круга:

$$S=\pi R^2=\pi\left(\frac{a}{2\sin \alpha}\right)^2=\frac{\pi a^2}{4\sin^2 \alpha}.$$

в) В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой. Пусть $$O$$ — центр описанной окружности, $$H$$ — середина основания. Тогда $$OH$$ лежит на высоте, а $$BH=\frac a2$$.

Обозначим радиус описанной окружности через $$R$$. Так как центр окружности лежит на оси симметрии треугольника, то $$BO=R$$, а

$$OH=h-R.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$OCH$$:

$$OC^2=OH^2+CH^2.$$

Так как $$OC=R$$ и $$CH=\frac a2$$, получаем

$$R^2=(h-R)^2+\left(\frac a2\right)^2.$$

Раскроем скобки:

$$R^2=h^2-2hR+R^2+\frac{a^2}{4}.$$

Отсюда

$$2hR=h^2+\frac{a^2}{4},$$

$$R=\frac{4h^2+a^2}{8h}.$$

Тогда площадь описанного круга равна