Упр.1205 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Перечертите таблицу и, используя формулу для площади S круга радиуса R, заполните пустые клетки. Воспользуйтесь значением пи = 3,14. Докажите, что все апофемы правильной пирамиды равны друг другу.

Подробный ответ

Используем формулу площади круга:

$$S=\pi R^2,\qquad R=\sqrt{\frac{S}{\pi}},\qquad \pi=3{,}14.$$

Заполним таблицу:

1) $$S=3{,}14\cdot 2^2=3{,}14\cdot 4=12{,}56;$$
2) $$S=3{,}14\cdot 5^2=3{,}14\cdot 25=78{,}5;$$
3) $$R=\sqrt{\frac{9}{3{,}14}}=1{,}69;$$
4) $$S=3{,}14\cdot \left(\frac{2}{7}\right)^2=\frac{3{,}14\cdot 4}{49}=0{,}26;$$
5) $$R=\sqrt{\frac{49\pi}{\pi}}=\sqrt{49}=7;$$
6) $$S=3{,}14\cdot 54{,}3^2=9258{,}26;$$
7) $$S=3{,}14\cdot (\sqrt{3})^2=3{,}14\cdot 3=9{,}42;$$
8) $$R=\sqrt{\frac{6{,}25}{3{,}14}}=1{,}41.$$

Докажем, что все апофемы правильной пирамиды равны.

Пусть $$MABC$$ — правильная пирамида, а $$ME,\,MF,\,MK$$ — её апофемы. Тогда боковые грани пирамиды — равные равнобедренные треугольники, поэтому

$$MA=MB=MC,\qquad AB=BC=AC.$$

В правильной пирамиде все апофемы являются высотами равных боковых граней, значит

$$ME=MF=MK.$$

Действительно, точка $$O$$ — центр вписанной и описанной окружностей основания, поэтому $$OE=OF=OK$$, а $$MO$$ — общая высота. Тогда треугольники $$\triangle MOE$$, $$\triangle MOF$$ и $$\triangle MOK$$ равны по двум катетам:

$$MO=MO,\qquad OE=OF=OK.$$

Следовательно,

$$ME=MF=MK.$$