Упр.1200 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Шлифовальный камень, имеющий форму диска, находится в защитном кожухе (рис. 316). Диаметр камня равен 58 см, дуга незащищённой его части равна 117°. Найдите длину дуги незащищённой части камня. Найдите объём правильной n-угольной призмы, все рёбра которой равны а, если: а) n=3; б) n = 4; в) n=6; г) n=8.

1) Диаметр камня равен $$58\text{ см}$$, значит радиус

$$R=\frac{58}{2}=29\text{ см}.$$

Длина дуги, соответствующей центральному углу $$117^\circ$$, равна

$$l=\frac{2\pi R}{360^\circ}\cdot 117^\circ=\frac{\pi R}{180^\circ}\cdot 117^\circ.$$

Подставим $$R=29$$:

$$l=\frac{\pi\cdot 29\cdot 117}{180}\approx 59{,}2\text{ см}.$$

2) Так как все рёбра правильной $$n$$-угольной призмы равны $$a$$, то высота призмы тоже равна $$a$$, а в основании лежит правильный $$n$$-угольник со стороной $$a$$. Поэтому

$$V=S_{\text{осн}}\cdot a.$$

а) При $$n=3$$ основание — равносторонний треугольник:

$$S_{\text{осн}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4},$$

значит

$$V=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot a=\frac{a^3\sqrt{3}}{4}.$$

б) При $$n=4$$ основание — квадрат:

$$S_{\text{осн}}=a^2,$$

следовательно

$$V=a^2\cdot a=a^3.$$

в) При $$n=6$$ основание — правильный шестиугольник:

$$S_{\text{осн}}=6\cdot \frac{1}{2}a^2\sin 60^\circ=6\cdot \frac{1}{2}a^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2},$$

поэтому

$$V=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}\cdot a=\frac{3a^3\sqrt{3}}{2}.$$

г) При $$n=8$$ основание — правильный восьмиугольник. Его площадь можно выразить формулой

$$S_{\text{осн}}=2(\sqrt{2}+1)a^2,$$

тогда

$$V=2(\sqrt{2}+1)a^2\cdot a=2(\sqrt{2}+1)a^3.$$

Ответ

$$59{,}2\text{ см};\quad \text{а) } \frac{a^3\sqrt{3}}{4};\quad \text{б) } a^3;\quad \text{в) } \frac{3a^3\sqrt{3}}{2};\quad \text{г) } 2(\sqrt{2}+1)a^3.$$