Упр.1200 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Шлифовальный камень, имеющий форму диска, находится в защитном кожухе (рис. 316). Диаметр камня равен $$58\ \text{см}$$, дуга незащищённой его части равна $$117^\circ$$. Найдите длину дуги незащищённой части камня.
- Найдите объём правильной $$n$$-угольной призмы, все рёбра которой равны $$a$$, если: а) $$n=3$$; б) $$n=4$$; в) $$n=6$$; г) $$n=8$$.
Так как все рёбра правильной призмы равны $$a$$, то её высота тоже равна $$a$$, а в основании лежит правильный $$n$$-угольник со стороной $$a$$. Поэтому
$$V=S_{\text{осн}}\cdot a.$$
а) $$n=3$$. В основании — равносторонний треугольник:
$$S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}a\cdot a\sin 60^\circ=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.$$
Тогда
$$V=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot a=\frac{a^3\sqrt{3}}{4}.$$
б) $$n=4$$. В основании — квадрат:
$$S_{\text{осн}}=a^2,$$
значит
$$V=a^2\cdot a=a^3.$$
в) $$n=6$$. В основании — правильный шестиугольник:
$$S_{\text{осн}}=6\cdot \frac{1}{2}a^2\sin 60^\circ=6\cdot \frac{1}{2}a^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}.$$
Тогда
$$V=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}\cdot a=\frac{3a^3\sqrt{3}}{2}.$$
г) $$n=8$$. В основании — правильный восьмиугольник. Его площадь равна
$$S_{\text{осн}}=2(\sqrt{2}+1)a^2.$$
Следовательно,
$$V=2(\sqrt{2}+1)a^2\cdot a=2(\sqrt{2}+1)a^3.$$
Ответ: а) $$\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$$; б) $$a^3$$; в) $$\frac{3a^3\sqrt{3}}{2}$$; г) $$2(\sqrt{2}+1)a^3$$.
