Упр.120 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Медиана $$AM$$ треугольника $$ABC$$ равна отрезку $$BM$$. Докажите, что один из углов треугольника $$ABC$$ равен сумме двух других углов.
2. В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ с основанием $$AC$$ проведена медиана $$BD$$. На сторонах $$AB$$ и $$CB$$ отмечены соответственно точки $$E$$ и $$F$$ так, что $$AE=CF$$. Докажите, что:
   а) треугольник $$BDE$$ = треугольник $$BDF$$;
   б) треугольник $$ADE$$ = треугольник $$CDF$$.

Пусть $$BD$$ — медиана в равнобедренном треугольнике $$ABC$$ с основанием $$AC$$, точки $$E$$ и $$F$$ лежат соответственно на сторонах $$AB$$ и $$CB$$, причём $$AE=CF$$.

а)

Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный, а $$BD$$ — медиана к основанию, то $$BD$$ является также высотой и биссектрисой. Значит,

$$\angle EBD=\angle DBF.$$

Кроме того,

$$BD$$ — общая сторона,

$$BE=AB-AE,$$

$$BF=BC-CF.$$

Но в равнобедренном треугольнике $$AB=BC$$, а по условию $$AE=CF$$, значит $$BE=BF$$.

Следовательно, треугольники $$BDE$$ и $$BDF$$ равны по двум сторонам и углу между ними:

$$BD=BD,\quad BE=BF,\quad \angle EBD=\angle DBF.$$

Значит, $$\triangle BDE \cong \triangle BDF$$.

б)

Из равенства треугольников $$BDE$$ и $$BDF$$ получаем

$$DE=DF.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$ADE$$ и $$CDF$$. Имеем:

$$AD=DC$$, так как $$BD$$ — медиана;

$$AE=CF$$ по условию;

$$DE=DF$$, как соответствующие стороны равных треугольников.

Следовательно,

$$\triangle ADE \cong \triangle CDF$$

по трём сторонам.

Ответ: $$\triangle BDE \cong \triangle BDF$$, $$\triangle ADE \cong \triangle CDF$$.