Упр.1199 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Расстояние между серединами зубьев зубчатого колеса, измеренное по дуге окружности, равно $$47{,}1\ \text{мм}$$. Диаметр колеса равен $$450\ \text{мм}$$. Сколько зубьев имеет колесо?
Найдите объём прямой призмы $$ABCA_1B_1C_1$$, если угол $$\angle BAC=120^\circ$$, $$AB=5\ \text{см}$$, $$AC=3\ \text{см}$$, а наибольшая из площадей боковых граней равна $$35\ \text{см}^2$$.

Подробный ответ

Найдём сначала сторону $$BC$$ треугольника $$ABC$$ по теореме косинусов:

$$BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos \angle BAC$$
$$BC^2=5^2+3^2-2\cdot 5\cdot 3\cdot \cos 120^\circ$$
$$BC^2=25+9-30\cdot \left(-\frac12\right)=34+15=49$$
$$BC=7\text{ см}$$

Наибольшая боковая грань призмы имеет площадь $$35\text{ см}^2$$. Эта грань построена на стороне $$BC$$, значит

$$S_{BCB_1C_1}=BC\cdot BB_1=35$$
$$7\cdot BB_1=35$$
$$BB_1=5\text{ см}$$

Теперь найдём объём призмы:

$$V=S_{\text{осн}}\cdot BB_1$$

Площадь основания $$ABC$$ равна

$$S_{\text{осн}}=\frac12 AB\cdot AC\cdot \sin \angle BAC$$
$$S_{\text{осн}}=\frac12\cdot 5\cdot 3\cdot \sin 120^\circ$$
$$S_{\text{осн}}=\frac{15}{2}\cdot \frac{\sqrt3}{2}=\frac{15\sqrt3}{4}$$

Тогда

$$V=\frac{15\sqrt3}{4}\cdot 5=\frac{75\sqrt3}{4}\text{ см}^3$$