Упр.1194 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Найдите длину окружности, вписанной: а) в квадрат со стороной $$a$$; б) в равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой $$c$$; в) в прямоугольный треугольник с гипотенузой $$c$$ и острым углом $$a$$; г) в равнобедренный треугольник с углом при основании $$a$$ и высотой $$h$$, проведённой к основанию.
Ребро куба равно $$a$$. Найдите диагональ этого куба.

Подробный ответ

а) В квадрате центр вписанной окружности находится в точке пересечения диагоналей, а диаметр окружности равен стороне квадрата. Поэтому

$$2r=a,\qquad r=\frac a2.$$

Тогда длина окружности:

$$C=2\pi r=2\pi\cdot \frac a2=\pi a.$$

б) Пусть $$\triangle ABC$$ — равнобедренный прямоугольный, $$\angle C=90^\circ$$, $$AB=c$$. Тогда

$$AC=BC=\frac{c}{\sqrt2}=\frac{c\sqrt2}{2}.$$

Для вписанной окружности в прямоугольном треугольнике радиус равен

$$r=\frac{AC+BC-AB}{2}.$$

Подставим:

$$r=\frac{\frac{c\sqrt2}{2}+\frac{c\sqrt2}{2}-c}{2}=\frac{c(\sqrt2-1)}{2}.$$

Следовательно,

$$C=2\pi r=2\pi\cdot \frac{c(\sqrt2-1)}{2}=\pi c(\sqrt2-1).$$

в) Пусть $$\triangle ABC$$ — прямоугольный, $$\angle C=90^\circ$$, $$AB=c$$, $$\angle A=\alpha$$. Тогда

$$BC=c\sin\alpha,\qquad AC=c\cos\alpha.$$

Радиус вписанной окружности в прямоугольном треугольнике:

$$r=\frac{AC+BC-AB}{2}.$$

Значит,

$$r=\frac{c\cos\alpha+c\sin\alpha-c}{2}=\frac{c(\cos\alpha+\sin\alpha-1)}{2}.$$

Тогда длина окружности:

$$C=2\pi r=\pi c(\cos\alpha+\sin\alpha-1).$$

г) Пусть $$\triangle ABC$$ — равнобедренный, $$AB=BC$$, $$\angle A=\angle C=\alpha$$, $$BH=h$$ — высота к основанию $$AC$$. Тогда $$BH$$ также является медианой и биссектрисой, а центр вписанной окружности лежит на оси симметрии, поэтому $$OH=r$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABH$$:

$$\tan\alpha=\frac{BH}{AH}\quad \Rightarrow \quad AH=\frac{h}{\tan\alpha}.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$AOH$$. Так как $$AO$$ — биссектриса угла $$A$$, то

$$\angle OAH=\frac{\alpha}{2}.$$

Тогда

$$\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{OH}{AH}$$

и значит

$$r=OH=AH\cdot \tan\frac{\alpha}{2}=\frac{h}{\tan\alpha}\tan\frac{\alpha}{2}.$$

Следовательно, длина окружности равна

$$C=2\pi r=\frac{2\pi h\tan\frac{\alpha}{2}}{\tan\alpha}.$$

Ответ: а) $$\pi a$$; б) $$\pi c(\sqrt2-1)$$; в) $$\pi c(\cos\alpha+\sin\alpha-1)$$; г) $$\dfrac{2\pi h\tan\frac{\alpha}{2}}{\tan\alpha}$$.