Упр.1193 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

а) В правильном треугольнике радиус описанной окружности равен

$$R=\frac{a}{\sqrt{3}}.$$

Тогда длина окружности:

$$C=2\pi R=2\pi\cdot \frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{2\pi a\sqrt{3}}{3}.$$

б) В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна

$$c=\sqrt{a^2+b^2}.$$

Центр описанной окружности — середина гипотенузы, значит

$$R=\frac{c}{2}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}.$$

Следовательно,

$$C=2\pi R=\pi\sqrt{a^2+b^2}.$$

в) Для равнобедренного треугольника с основанием $$a$$ и боковой стороной $$b$$ опустим высоту к основанию. Она делит основание пополам, поэтому

$$BH=\sqrt{b^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{4b^2-a^2}}{2}.$$

Площадь треугольника:

$$S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot BH=\frac{a\sqrt{4b^2-a^2}}{4}.$$

По формуле $$S=\frac{abc}{4R}$$ получаем

$$R=\frac{abc}{4S}=\frac{b^2}{\sqrt{4b^2-a^2}}.$$

Тогда

$$C=2\pi R=\frac{2\pi b^2}{\sqrt{4b^2-a^2}}.$$

г) Пусть $$AB=a$$ — меньшая сторона прямоугольника, а $$\alpha$$ — острый угол между диагоналями. Тогда диагонали пересекаются в центре описанной окружности, и в прямоугольном треугольнике

$$\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{a/2}{R}.$$

Отсюда

$$R=\frac{a}{2\sin\frac{\alpha}{2}}.$$

Следовательно,

$$C=2\pi R=\frac{\pi a}{\sin\frac{\alpha}{2}}.$$

д) Площадь правильного шестиугольника выражается через радиус описанной окружности так:

$$S=\frac{3\sqrt{3}}{2}R^2.$$

Так как $$S=24\sqrt{3}\text{ см}^2$$, то

$$24\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{2}R^2,$$

$$R^2=16,\quad R=4\text{ см}.$$

Тогда длина окружности:

$$C=2\pi R=8\pi\text{ см}.$$

Ответ: а) $$\frac{2\pi a\sqrt{3}}{3}$$; б) $$\pi\sqrt{a^2+b^2}$$; в) $$\frac{2\pi b^2}{\sqrt{4b^2-a^2}}$$; г) $$\frac{\pi a}{\sin\frac{\alpha}{2}}$$; д) $$8\pi\text{ см}$$.