Упр.1191 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Как изменится длина окружности, если радиус окружности: а) увеличить в три раза; б) уменьшить в два раза; в) увеличить в $$k$$ раз; г) уменьшить в $$k$$ раз?
2. Изобразите параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ и постройте его сечение плоскостью, проходящей через точки $$B_1$$, $$D_1$$ и середину ребра $$CD$$. Докажите, что построенное сечение — трапеция.

Пусть $$C=2\pi R$$ — длина окружности.

Тогда при изменении радиуса получаем:

1. если радиус увеличить в три раза, то $$R_1=3R$$, значит

   $$C_1=2\pi\cdot 3R=6\pi R.$$

   Следовательно, $$\frac{C_1}{C}=3$$, то есть длина окружности увеличится в три раза.

2. если радиус уменьшить в два раза, то $$R_1=\frac{R}{2}$$, значит

   $$C_1=2\pi\cdot \frac{R}{2}=\pi R.$$

   Следовательно, $$\frac{C_1}{C}=\frac{1}{2}$$, то есть длина окружности уменьшится в два раза.

3. если радиус увеличить в $$k$$ раз, то $$R_1=kR$$, значит

   $$C_1=2\pi\cdot kR=2k\pi R.$$

   Следовательно, $$\frac{C_1}{C}=k$$, то есть длина окружности увеличится в $$k$$ раз.

4. если радиус уменьшить в $$k$$ раз, то $$R_1=\frac{R}{k}$$, значит

   $$C_1=2\pi\cdot \frac{R}{k}=\frac{2\pi R}{k}.$$

   Следовательно, $$\frac{C_1}{C}=\frac{1}{k}$$, то есть длина окружности уменьшится в $$k$$ раз.

Ответ: а) увеличится в 3 раза; б) уменьшится в 2 раза; в) увеличится в $$k$$ раз; г) уменьшится в $$k$$ раз.