Упр.1189 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: С помощью циркуля и линейки в данную окружность впишите: а) правильный шестиугольник; б) правильный треугольник; в) квадрат; г) правильный восьмиугольник. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью: а) АВС1; б) АСС1. Докажите, что построенные сечения — параллелограммы.
а) Правильный шестиугольник. Установим циркуль на радиус данной окружности и отметим на окружности любую точку. Затем, не меняя раствора циркуля, последовательно откладываем на окружности равные дуги, каждый раз получая новую точку пересечения дуги с окружностью. После того как будут отмечены все шесть точек, соединим их по порядку. Получится правильный шестиугольник, так как каждая его сторона равна радиусу окружности.
б) Правильный треугольник. Построим на окружности шесть равных дуг, как в пункте а), и соединим через одну каждую вторую точку. Тогда центральные углы между соседними вершинами равны $$120^\circ$$, а соответствующие хорды равны между собой. Следовательно, получаем правильный треугольник.
в) Квадрат. Проведём в окружности два взаимно перпендикулярных диаметра. Концы этих диаметров — четыре вершины квадрата. Соединим их по порядку. Так как все стороны являются хордами, стягивающими равные дуги по $$90^\circ$$, а соседние стороны перпендикулярны, получаем квадрат.
г) Правильный восьмиугольник. Проведём два взаимно перпендикулярных диаметра окружности. Затем построим ещё два диаметра, биссектрисы углов между ними, то есть под углом $$45^\circ$$ к первым. Получим восемь равноотстоящих точек на окружности. Соединив их по порядку, получим правильный восьмиугольник.
Построение сечения параллелепипеда $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ плоскостью $$ABC_1$$.
Соединим точки $$B$$ и $$C_1$$. Так как грани $$ABB_1A_1$$ и $$DCC_1D_1$$ параллельны, через точку $$A$$ проведём прямую, параллельную $$BC_1$$. Эта прямая пересечёт ребро $$A_1D_1$$ в точке $$D_1$$. Тогда сечение — четырёхугольник $$AB C_1D_1$$.
Докажем, что это параллелограмм. Действительно, $$AB \parallel C_1D_1$$ как противоположные рёбра параллелепипеда, а $$BC_1 \parallel AD_1$$ по построению. Следовательно, противоположные стороны сечения попарно параллельны, значит, $$ABC_1D_1$$ — параллелограмм.
Построение сечения параллелепипеда $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ плоскостью $$ACC_1$$.
Соединим точки $$A$$ и $$C$$. Через точку $$C_1$$ проведём прямую, параллельную $$AC$$. Она пересечёт ребро $$A_1D_1$$ в точке $$A_1$$. Тогда сечение — четырёхугольник $$A C C_1 A_1$$.
Докажем, что это параллелограмм. Имеем $$AC \parallel A_1C_1$$ по построению, а $$AA_1 \parallel CC_1$$ как противоположные рёбра параллелепипеда. Значит, противоположные стороны сечения попарно параллельны, следовательно, $$ACC_1A_1$$ — параллелограмм.
Ответ
а) правильный шестиугольник; б) правильный треугольник; в) квадрат; г) правильный восьмиугольник. Сечения $$ABC_1D_1$$ и $$ACC_1A_1$$ — параллелограммы.
