Упр.1188 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Правильный восьмиугольник A1A2…A8 вписан в окружность радиуса R. Докажите, что четырёхугольник А3А4А7А8 является прямоугольником, и выразите его площадь через R На трёх рёбрах параллелепипеда даны точки А, В и С. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через эти точки.

1) В правильном восьмиугольнике центральный угол между соседними вершинами равен

$$\frac{360^\circ}{8}=45^\circ.$$

2) Рассмотрим углы, опирающиеся на дугу $$A_7A_1A_2A_3.$$ Тогда

$$\overset{\frown}{A_7A_1A_3}=\overset{\frown}{A_7A_8}+\overset{\frown}{A_8A_1}+\overset{\frown}{A_1A_2}+\overset{\frown}{A_2A_3}=4\cdot 45^\circ=180^\circ.$$

Значит, $$A_3A_7$$ — диаметр окружности, поэтому

$$A_3O=A_7O=R.$$

Аналогично, $$A_4A_8$$ — тоже диаметр, следовательно

$$A_4A_8=2R.$$

3) Диагонали четырёхугольника $$A_3A_4A_7A_8$$ равны диаметрам окружности и пересекаются в её центре. Кроме того, они равны между собой:

$$A_3A_7=A_4A_8=2R.$$

Так как в четырёхугольнике диагонали равны и пересекаются в серединах, а также являются диаметрами окружности, то $$A_3A_4A_7A_8$$ — прямоугольник.

4) Найдём его площадь. Для прямоугольника

$$S=A_3A_4\cdot A_4A_7.$$

Стороны $$A_3A_4$$ и $$A_4A_7$$ — хорды, стягивающие дуги по $$45^\circ$$ и $$135^\circ$$ соответственно. Удобнее воспользоваться формулой площади через диагонали и угол между ними:

$$S=\frac12 \cdot A_3A_7 \cdot A_4A_8 \cdot \sin \angle A_8OA_7.$$

Так как $$\angle A_8OA_7=45^\circ$$, получаем

$$S=\frac12 \cdot 2R \cdot 2R \cdot \sin 45^\circ=2R^2\cdot \frac{\sqrt2}{2}=R^2\sqrt2.$$

Ответ

$$S=R^2\sqrt2.$$