Упр.1187 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Выразите сторону, периметр и площадь правильного треугольника: а) через радиус вписанной окружности; б) через радиус описанной окружности.
2. Существует ли параллелепипед, у которого: а) только одна грань — прямоугольник; б) только две смежные грани — ромбы; в) все углы граней острые; г) все углы граней прямые; д) число всех острых углов граней не равно числу всех тупых углов граней?

Пусть $$\triangle ABC$$ — правильный треугольник, $$r$$ — радиус вписанной окружности, $$R$$ — радиус описанной окружности, $$a$$ — сторона треугольника.

а) Через радиус вписанной окружности

Для правильного треугольника

$$r=R\cos 60^\circ=\frac{R}{2}.$$

Значит, $$R=2r$$. Тогда сторона треугольника

$$a=2R\sin 60^\circ=2\cdot 2r\cdot \frac{\sqrt3}{2}=2\sqrt3\,r.$$

Периметр:

$$P=3a=3\cdot 2\sqrt3\,r=6\sqrt3\,r.$$

Площадь:

$$S=\frac12Pr=\frac12\cdot 6\sqrt3\,r\cdot r=3\sqrt3\,r^2.$$

б) Через радиус описанной окружности

Для правильного треугольника

$$a=2R\sin 60^\circ=2R\cdot \frac{\sqrt3}{2}=\sqrt3\,R.$$

Периметр:

$$P=3a=3\sqrt3\,R.$$

Площадь:

$$S=\frac12Pr=\frac12\cdot 3\sqrt3\,R\cdot \frac{R}{2}=\frac{3\sqrt3}{4}R^2.$$

Ответ: а) $$a=2\sqrt3\,r,\; P=6\sqrt3\,r,\; S=3\sqrt3\,r^2$$; б) $$a=\sqrt3\,R,\; P=3\sqrt3\,R,\; S=\frac{3\sqrt3}{4}R^2$$.