Упр.1187 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Выразите сторону, периметр и площадь правильного треугольника: а) через радиус вписанной окружности; б) через радиус описанной окружности. Существует ли параллелепипед, у которого: а) только одна грань — прямоугольник; б) только две смежные грани — ромбы; в) все углы граней острые; г) все углы граней прямые; д) число всех острых углов граней не равно числу всех тупых углов граней?

Подробный ответ

Пусть $$\triangle ABC$$ — правильный треугольник, $$r$$ — радиус вписанной окружности, $$R$$ — радиус описанной окружности.

Для правильного треугольника центр вписанной и описанной окружностей совпадает, а высота делится этим центром в отношении $$2:1$$. Поэтому

$$r=R\cos 60^\circ=\frac{R}{2}, \qquad R=2r.$$

а) Выразим через $$r$$.

Сторона правильного треугольника выражается через радиус описанной окружности формулой

$$a=2R\sin 60^\circ=2\cdot 2r\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\,r.$$

Тогда периметр

$$P=3a=3\cdot 2\sqrt{3}\,r=6\sqrt{3}\,r,$$

а площадь

$$S=\frac{1}{2}Pr=\frac{1}{2}\cdot 6\sqrt{3}\,r\cdot r=3\sqrt{3}\,r^2.$$

б) Выразим через $$R$$.

Сторона:

$$a=2R\sin 60^\circ=2R\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\,R.$$

Периметр:

$$P=3a=3\sqrt{3}\,R.$$

Площадь:

$$S=\frac{1}{2}Pr=\frac{1}{2}\cdot 3\sqrt{3}\,R\cdot \frac{R}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2.$$

Рассмотрим параллелепипед.

а) Только одна грань — прямоугольник: нет, так как противоположные грани параллелепипеда равны, значит если одна грань прямоугольник, то и противоположная ей грань тоже прямоугольник.

б) Только две смежные грани — ромбы: нет, по той же причине смежные с ними противоположные грани тоже будут ромбами.

в) Все углы граней острые: нет, так как грани параллелепипеда — параллелограммы, а у параллелограмма не все углы острые.

г) Все углы граней прямые: да, это возможно, если все грани — прямоугольники.

д) Число всех острых углов граней не равно числу всех тупых углов граней: нет, у каждого параллелограмма число острых и тупых углов одинаково, поэтому и во всём параллелепипеде эти числа равны.