Упр.1186 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Найдите отношение площадей двух правильных шестиугольников — вписанного в окружность и описанного около неё.
- Докажите, что площадь боковой поверхности прямой призмы (т. е. сумма площадей её боковых граней) равна произведению периметра основания на боковое ребро.
Пусть $$r$$ — радиус окружности.
Для правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус окружности равен апофеме шестиугольника. Тогда
$$r=R\cos\frac{180^\circ}{6}=R\cos30^\circ=R\cdot\frac{\sqrt3}{2},$$
откуда
$$R=\frac{2r}{\sqrt3}.$$
Сторона такого шестиугольника:
$$a=2R\sin\frac{180^\circ}{6}=2R\sin30^\circ=R=\frac{2r}{\sqrt3}.$$
Его периметр равен
$$P=6a=6\cdot\frac{2r}{\sqrt3}=\frac{12r}{\sqrt3}.$$
Площадь описанного шестиугольника:
$$S_1=\frac12Pr=\frac12\cdot\frac{12r}{\sqrt3}\cdot r=2\sqrt3\,r^2.$$
Для правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус окружности равен его стороне, то есть
$$a=r.$$
Тогда его периметр
$$P=6r,$$
а площадь
$$S_2=\frac12Pr=\frac12\cdot 6r\cdot r=3r^2\sqrt3?$$
Используем формулу площади правильного шестиугольника через сторону:
$$S_2=6\cdot\frac{\sqrt3}{4}r^2=\frac{3\sqrt3}{2}r^2.$$
Теперь найдём отношение площадей:
$$S_1:S_2=2\sqrt3\,r^2:\frac{3\sqrt3}{2}r^2=2:\frac32=4:3.$$
Ответ: $$4:3$$.
