Упр.1185 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Стороны правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника равны друг другу. Найдите отношения площадей этих многоугольников.
- Докажите, что число вершин любой призмы чётно, а число рёбер кратно 3.
Рассмотрим правильные треугольник, квадрат и правильный шестиугольник со стороной $$a$$.
Площадь правильного многоугольника выражается формулой
$$S=\frac12Pr,$$
где $$P$$ — периметр, $$r$$ — радиус вписанной окружности.
Для правильного треугольника $$n=3$$:
$$a_3=2R\sin 60^\circ=2R\cdot \frac{\sqrt3}{2}=R\sqrt3,$$
откуда
$$R=\frac{a_3}{\sqrt3}.$$
Тогда
$$r=R\cos 60^\circ=\frac{a_3}{\sqrt3}\cdot \frac12=\frac{a_3\sqrt3}{6},$$
$$P=3a_3.$$
Следовательно,
$$S_3=\frac12\cdot 3a_3\cdot \frac{a_3\sqrt3}{6}=\frac{\sqrt3}{4}a_3^2.$$
Для квадрата $$n=4$$:
$$a_4=2R\sin 45^\circ=2R\cdot \frac{\sqrt2}{2}=R\sqrt2,$$
откуда
$$R=\frac{a_4}{\sqrt2}.$$
Тогда
$$r=R\cos 45^\circ=\frac{a_4}{\sqrt2}\cdot \frac{\sqrt2}{2}=\frac{a_4}{2},$$
$$P=4a_4.$$
Следовательно,
$$S_4=\frac12\cdot 4a_4\cdot \frac{a_4}{2}=a_4^2.$$
Для правильного шестиугольника $$n=6$$:
$$a_6=2R\sin 30^\circ=2R\cdot \frac12=R,$$
значит
$$R=a_6.$$
Тогда
$$r=R\cos 30^\circ=a_6\cdot \frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt3}{2}a_6,$$
$$P=6a_6.$$
Следовательно,
$$S_6=\frac12\cdot 6a_6\cdot \frac{\sqrt3}{2}a_6=\frac{3\sqrt3}{2}a_6^2.$$
Так как по условию $$a_3=a_4=a_6=a$$, получаем:
$$S_3:S_4:S_6=\frac{\sqrt3}{4}a^2:a^2:\frac{3\sqrt3}{2}a^2.$$
Умножим все части отношения на $$4$$:
$$S_3:S_4:S_6=\sqrt3:4:6\sqrt3.$$
Ответ: $$S_3:S_4:S_6=\sqrt3:4:6\sqrt3.$$
