Упр.1185 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Стороны правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника равны друг другу. Найдите отношения площадей этих многоугольников. Докажите, что число вершин любой призмы чётно, а число рёбер кратно 3.
Обозначим сторону правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника через $$a$$. Тогда для всех трёх многоугольников найдём площадь через сторону.
Для правильного многоугольника удобно использовать формулу
$$S=\frac12Pr,$$
где $$P$$ — периметр, $$r$$ — радиус вписанной окружности.
1) Правильный треугольник. Пусть его сторона равна $$a$$. Тогда
$$P_3=3a,$$
а радиус вписанной окружности равен
$$r_3=\frac{a\sqrt3}{6}.$$
Следовательно,
$$S_3=\frac12\cdot 3a\cdot \frac{a\sqrt3}{6}=\frac{\sqrt3}{4}a^2.$$
2) Квадрат. При стороне $$a$$ имеем
$$S_4=a^2.$$
3) Правильный шестиугольник. Его можно разбить на 6 равносторонних треугольников со стороной $$a$$, поэтому
$$S_6=6\cdot \frac{\sqrt3}{4}a^2=\frac{3\sqrt3}{2}a^2.$$
Теперь найдём отношение площадей:
$$S_3:S_4:S_6=\frac{\sqrt3}{4}a^2:a^2:\frac{3\sqrt3}{2}a^2.$$
Умножим все части на $$4$$:
$$S_3:S_4:S_6=\sqrt3:4:6\sqrt3.$$
Докажем второе утверждение.
Любая призма имеет две равные и параллельные основания, каждое из которых является $$n$$-угольником. Поэтому число вершин призмы равно
$$n+n=2n,$$
то есть оно чётно.
Число рёбер призмы состоит из рёбер двух оснований и боковых рёбер:
$$n+n+n=3n.$$
Значит, число рёбер кратно $$3$$.
Ответ
$$S_3:S_4:S_6=\sqrt3:4:6\sqrt3.$$ Число вершин любой призмы чётно, число рёбер кратно $$3$$.
