Упр.1184 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Расстояние между параллельными гранями шестигранной головки болта, основание которого имеет форму правильного шестиугольника, равно $$1{,}5\ \text{см}$$. Найдите площадь основания.
2. Сколько граней, рёбер и вершин имеет: а) прямоугольный параллелепипед; б) тетраэдр; в) октаэдр?

Пусть $$a$$ — сторона правильного шестиугольника, $$r$$ — его апофема, $$R$$ — радиус описанной окружности.

Расстояние между параллельными гранями равно удвоенной апофеме, значит

$$2r=1{,}5,$$

откуда

$$r=0{,}75\text{ см}.$$

Для правильного шестиугольника

$$r=R\cos 30^\circ,$$

поэтому

$$0{,}75=R\cdot \frac{\sqrt3}{2},$$

$$R=\frac{1{,}5}{\sqrt3}\text{ см}.$$

Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности, значит

$$a=R=\frac{1{,}5}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{2}\text{ см}.$$

Площадь правильного шестиугольника:

$$S=6\cdot \frac{a^2\sqrt3}{4}.$$

Подставим найденное значение $$a$$:

$$S=6\cdot \frac{\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2\sqrt3}{4} =6\cdot \frac{3\sqrt3}{16} =\frac{9\sqrt3}{8}\text{ см}^2.$$

Ответ: $$\frac{9\sqrt3}{8}\text{ см}^2.$$