Упр.1184 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Расстояние между параллельными гранями шестигранной головки болта, основание которого имеет форму правильного шестиугольника, равно 1,5 см. Найдите площадь основания. Сколько граней, рёбер и вершин имеет: а) прямоугольный параллелепипед; б) тетраэдр; в) октаэдр?
Пусть основание болта — правильный шестиугольник. Расстояние между параллельными гранями равно $$1{,}5$$ см. Для правильного шестиугольника это расстояние равно удвоенному апофеме, значит
$$r=\frac{1{,}5}{2}=0{,}75\text{ см}.$$
Для правильного шестиугольника
$$r=R\cos 30^\circ,$$
где $$R$$ — радиус описанной окружности. Тогда
$$0{,}75=R\cdot \frac{\sqrt{3}}{2},$$
откуда
$$R=\frac{1{,}5}{\sqrt{3}}\text{ см}.$$
Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности:
$$a=R=\frac{1{,}5}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{ см}.$$
Периметр основания:
$$P=6a=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\text{ см}.$$
Площадь правильного многоугольника находим по формуле
$$S=\frac{1}{2}Pr.$$
Тогда
$$S=\frac{1}{2}\cdot 3\sqrt{3}\cdot \frac{3}{4}=\frac{9\sqrt{3}}{8}\text{ см}^2.$$
Теперь найдём число граней, рёбер и вершин:
- прямоугольный параллелепипед имеет $$6$$ граней, $$12$$ рёбер и $$8$$ вершин;
- тетраэдр имеет $$4$$ грани, $$6$$ рёбер и $$4$$ вершины;
- октаэдр имеет $$8$$ граней, $$12$$ рёбер и $$6$$ вершин.
Ответ
$$S=\frac{9\sqrt{3}}{8}\text{ см}^2.$$
а) $$6$$ граней, $$12$$ рёбер, $$8$$ вершин; б) $$4$$ грани, $$6$$ рёбер, $$4$$ вершины; в) $$8$$ граней, $$12$$ рёбер, $$6$$ вершин.
