Упр.1183 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите площадь $$S$$ правильного $$n$$-угольника, если:
   а) $$n=4$$, $$R=3\sqrt{2}\text{ см}$$;
   б) $$n=3$$, $$P=24\text{ см}$$;
   в) $$n=6$$, $$r=9\text{ см}$$;
   г) $$n=8$$, $$r=5\sqrt{3}\text{ см}$$.
2. Даны параллельные прямые $$b$$ и $$c$$ и точка $$A$$, не лежащая ни на одной из них. Постройте равносторонний треугольник $$ABC$$ так, чтобы вершины $$B$$ и $$C$$ лежали соответственно на прямых $$b$$ и $$c$$. Сколько решений имеет задача?

Пусть $$a$$ — сторона правильного $$n$$-угольника. Тогда его площадь можно находить по формулам

$$S=\frac12Pr,\qquad P=na,$$

а также через радиус описанной окружности $$R$$:

$$a=2R\sin\frac{180^\circ}{n},\qquad r=R\cos\frac{180^\circ}{n}.$$

а) $$n=4,\ R=3\sqrt2\text{ см}$$

$$a=2R\sin45^\circ=2\cdot 3\sqrt2\cdot \frac{\sqrt2}{2}=6\text{ см}.$$

Тогда

$$P=4a=4\cdot 6=24\text{ см},$$

$$r=R\cos45^\circ=3\sqrt2\cdot \frac{\sqrt2}{2}=3\text{ см}.$$

Следовательно,

$$S=\frac12Pr=\frac12\cdot 24\cdot 3=36\text{ см}^2.$$

б) $$n=3,\ P=24\text{ см}$$

$$a=\frac{P}{3}=\frac{24}{3}=8\text{ см}.$$

Для равностороннего треугольника

$$S=\frac{\sqrt3}{4}a^2=\frac{\sqrt3}{4}\cdot 8^2=16\sqrt3\text{ см}^2.$$

в) $$n=6,\ r=9\text{ см}$$

$$r=R\cos30^\circ \Rightarrow 9=R\cdot \frac{\sqrt3}{2},$$

откуда

$$R=\frac{18}{\sqrt3}=6\sqrt3\text{ см}.$$

Тогда

$$a=2R\sin30^\circ=2\cdot 6\sqrt3\cdot \frac12=6\sqrt3\text{ см},$$

$$P=6a=6\cdot 6\sqrt3=36\sqrt3\text{ см}.$$

Теперь

$$S=\frac12Pr=\frac12\cdot 36\sqrt3\cdot 9=162\sqrt3\text{ см}^2.$$

г) $$n=8,\ r=5\sqrt3\text{ см}$$

Используем формулу площади правильного многоугольника через апофему:

$$S=nr^2\tan\frac{180^\circ}{n}.$$

Тогда

$$S=8\cdot (5\sqrt3)^2\cdot \tan22^\circ30’$$

$$=8\cdot 75\cdot \tan22^\circ30’$$

$$=600\cdot \tan22^\circ30′ \approx 600\cdot 0{,}4142=248{,}52\text{ см}^2.$$

Ответ

$$\text{а) }36\text{ см}^2;\quad \text{б) }16\sqrt3\text{ см}^2;\quad \text{в) }162\sqrt3\text{ см}^2;\quad \text{г) }248{,}52\text{ см}^2.$$