Упр.1181 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Около окружности описаны квадрат и правильный шестиугольник. Найдите периметр квадрата, если периметр шестиугольника равен 48 см.
- Даны две пересекающиеся прямые и точка О, не лежащая ни на одной из них. Используя центральную симметрию, постройте прямую, проходящую через точку О, так, чтобы отрезок этой прямой, отсекаемый данными прямыми, делился точкой О пополам.
Пусть $$a$$ — сторона правильного шестиугольника. Тогда его периметр равен
$$P=6a.$$
По условию $$P=48$$ см, значит
$$6a=48,\qquad a=8\text{ см}.$$
У правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус вписанной окружности равен апофеме. Рассмотрим треугольник, образованный радиусами к соседним вершинам и перпендикуляром к стороне шестиугольника. Тогда
$$\angle = \frac{360^\circ}{6}=60^\circ,$$
поэтому соответствующий треугольник равносторонний, а половина стороны равна
$$\frac{a}{2}=\frac{8}{2}=4\text{ см}.$$
Из прямоугольного треугольника с гипотенузой $$8$$ см и катетом $$4$$ см находим радиус окружности:
$$R=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{64-16}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\text{ см}.$$
Квадрат описан около этой окружности, значит его сторона равна диаметру окружности:
$$AB=2R=2\cdot 4\sqrt{3}=8\sqrt{3}\text{ см}.$$
Тогда периметр квадрата
$$P_{ABCD}=4\cdot 8\sqrt{3}=32\sqrt{3}\text{ см}.$$
Ответ: $$32\sqrt{3}\text{ см}.$$
