Упр.1180 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Поперечное сечение деревянного бруска является квадратом со стороной $$6\text{ см}$$. Найдите наибольший диаметр круглого стержня, который можно выточить из этого бруска.
- В окружность с центром $$O$$ вписаны два равносторонних треугольника $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$, причём вершины обозначены так, что направление обхода по дуге $$ABC$$ от точки $$A$$ к точке $$C$$ совпадает с направлением обхода по дуге $$A_1B_1C_1$$ от точки $$A_1$$ к точке $$C_1$$. Используя поворот вокруг точки $$O$$, докажите, что прямые $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ либо проходят через точку $$O$$, либо, пересекаясь, образуют равносторонний треугольник.
Рассмотрим поворот вокруг точки $$O$$ на $$120^\circ$$. Так как в окружность вписаны равносторонние треугольники, то при этом повороте вершина $$A$$ переходит в $$B$$, вершина $$B$$ — в $$C$$, а вершина $$C$$ — в $$A$$. Аналогично, вершина $$A_1$$ переходит в $$B_1$$, $$B_1$$ — в $$C_1$$, а $$C_1$$ — в $$A_1$$.
Следовательно, прямая $$AA_1$$ при повороте переходит в прямую $$BB_1$$, а прямая $$BB_1$$ — в прямую $$CC_1$$.
Если прямая $$AA_1$$ проходит через центр $$O$$, то и прямые $$BB_1$$ и $$CC_1$$ также проходят через точку $$O$$.
Если же прямая $$AA_1$$ не проходит через точку $$O$$, то при повороте на $$120^\circ$$ она переходит в прямую $$BB_1$$, а значит, угол между прямыми $$AA_1$$ и $$BB_1$$ равен $$120^\circ$$ или $$60^\circ$$ в зависимости от направления. Аналогично, угол между $$BB_1$$ и $$CC_1$$ также равен $$60^\circ$$.
Тогда три прямые $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$, попарно образуя углы по $$60^\circ$$, при пересечении образуют равносторонний треугольник.
Ответ: прямые $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ либо проходят через точку $$O$$, либо образуют равносторонний треугольник.
