Упр.1180 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Поперечное сечение деревянного бруска является квадратом со стороной 6 см. Найдите наибольший диаметр круглого стержня, который можно выточить из этого бруска. В окружность с центром О вписаны два равносторонних треугольника ABC и А1В1С1, причём вершины обозначены так, что направление обхода по дуге ABC от точки А к точке С совпадает с направлением обхода по дуге А1В1С1 от точки А, к точке С1. Используя поворот вокруг точки О, докажите, что прямые АА1, ВВ1 и СС1 либо проходят через точку О, либо, пересекаясь, образуют равносторонний треугольник.

Подробный ответ

1) Диаметр круглого стержня равен диаметру вписанной в квадрат окружности. Тогда

$$d=2R.$$

В квадрате со стороной $$6$$ см диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата, значит

$$d=6\text{ см}.$$

2) Рассмотрим поворот вокруг точки $$O$$ на $$120^\circ$$, при котором вершина $$A$$ переходит в вершину $$B$$. Тогда вершина $$B$$ переходит в вершину $$C$$, а вершина $$C$$ — в вершину $$A$$.

Так как треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ равносторонние и вписаны в одну окружность, то при этом повороте точка $$A_1$$ переходит в $$B_1$$, а значит, прямая $$AA_1$$ переходит в $$BB_1$$. Аналогично, прямая $$BB_1$$ переходит в $$CC_1$$, а $$CC_1$$ — в $$AA_1$$.

Если прямая $$AA_1$$ проходит через центр $$O$$, то по симметрии через точку $$O$$ проходят и прямые $$BB_1$$ и $$CC_1$$.

Если же $$AA_1$$ не проходит через $$O$$, то и $$BB_1$$, $$CC_1$$ не проходят через $$O$$. Тогда при попарном пересечении эти прямые образуют углы по $$60^\circ$$. Следовательно, треугольник, образованный прямыми $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$, равносторонний.